- 两条直线平行与垂直的判定与性质
- 共375题
已知椭圆C的两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），点在椭圆C上，抛物线E以椭圆C的中心为顶点，F2为焦点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l过点F2，且交y轴于D点，交抛物线E于A，B两点，
①若F1B⊥F2B，求|AF2|-|BF2|的值；
②试探究：线段AB与F2D的长度能否相等？如果|AB|=|F2D|，求直线l的方程。
正确答案
解：（1）由题意，设椭圆C的方程为：
∴
∴a=2
又c=1
∴
故椭圆C的方程为：
（2）由题意可得，抛物线E：y2=4x，
设l：y=k（x-1）（k≠0），
联立方程组
消去y得：k2x2-2（k2+2）x+k2=0，
Δ=16（k2+1）>0恒成立
设A（x1，y1），B（x2，y2），
①∵
又
∴
∴x1-x2=4，
|AF2|-|BF2|=x1-x2=4。
②假设|AB|=|F2D|
因为直线l过点F2，
所以
又D（0，-k），F2（1，0）
∴
由|AB|=|F2D|
∴
∴k4-16k2-16=0，
所以
从而
所以当l的方程为
设椭圆C：
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C上一动点P（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为P1 （x1，y1），求3x1-4y1的取值范围.
正确答案
解：（1）依题意知，2a=4，∴a=2
∵
∴
∴所求椭圆C的方程为
（2）∵点P（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为P1（x1，y1）
∴
解得：
∴3x1-4y1=-5x0∵点P（x0，y0）在椭圆C：
∴-2≤x0≤2，则-10≤-5x0≤10
∴3x1-4y1的取值范围为[-10，10]。
已知F1，F2是椭圆C：
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C上任一动点N（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为N1（x1，y1），求3x1-4y1的取值范围。
正确答案
解：（1）由已知，点
所以
又
所以点M是PF2的中点，点M在y轴上
故
所以
所以
由①②解得
所以所求的椭圆方程为
（2）因为N（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为N1（x1，y1），
所以
解得
所以3x1-4y1=-5x0 由点N（x0，y0）在椭圆上，故-2≤x0≤2，
所以-10≤-5x0≤10，
所以3x1-4y1的取值范围为[-10，10]。
已知直线x-y+1=0经过椭圆S：
（1）求椭圆S的方程；
（2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k，
①若直线PA平分线段MN，求k的值；
②对任意k＞0，求证：PA⊥PB。
正确答案
解：（1）在直线x-y+1=0中，
令x=0得y=1；令y=0得x=-1，
∴c=b=1，
∴
则椭圆方程为
（2）①
M、N的中点坐标为
所以
②将直线PA方程y=kx代入
解得
记
则
于是C（m，0），
故直线AB方程为
代入椭圆方程得
由
∴
∴
∴PA⊥PB。
设椭圆C：
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C上一动点P（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为P1 （x1，y1），求3x1-4y1的取值范围.
正确答案
解：（1）依题意知，2a=4，∴a=2
∵
∴
∴所求椭圆C的方程为
（2）∵点P（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为P1（x1，y1）
∴
解得：
∴3x1-4y1=-5x0∵点P（x0，y0）在椭圆C：
∴-2≤x0≤2，则-10≤-5x0≤10
∴3x1-4y1的取值范围为[-10，10]。
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