热门试卷

解：（1）由抛物线经过点O（0，0）A（m，0），

设抛物线方程y=kx（x﹣m），k≠0，

又抛物线过点P（m+1，m+1），

则m+1=k（m+1）（m+1﹣m），得k=1，

所以y=g（x）=x（x﹣m）=x2﹣mx．

（2）f（x）=（x﹣n）g（x）=x（x﹣m）（x﹣n）=x3﹣（m+n）x2+mnx，

f′（x）=3x2﹣2（m+n）x+mn，

函数f（x）在x=a和x=b处取到极值，故f′（a）=0，f′（b）=0，

∵m＞n＞0，

∴f′（m）=3m2﹣2（m+n）m+mn=m2﹣mn=m（m﹣n）＞0

f′（n）=3n2﹣2（m+n）+mn=n2﹣mn=n（n﹣m）＜0

又b＜a，故b＜n＜a＜m．

（3）设切点Q（x0，y0），则切线的斜率k=f′（x0）=3x02﹣2（m+n）x0+mn

又y0=x03﹣（m+n）x02+mnx0，

所以切线的方程是 y=x03﹣（m+n）x02﹣mnx0=[3x02﹣2（m+n）x0+mn]（x﹣x0）

又切线过原点，故﹣x03﹣（m+n）x02﹣mnx0=﹣3x03﹣2（m+n）x02+mnx0，

所以2x03﹣（m+n）x02=0，解得x0=0，或x0= ．

两条切线的斜率为k1=f′（0）=mn，k2=f′（ ），

由m+n≤2 ，得（m+n）2≥8，

∴﹣ （m+n）2≥﹣2，

∴k2=f′（ ）= ﹣2（m+n）· +mn

=﹣ （m+n）2+mn≥mn﹣2

所以k1k2=（mn）2﹣2mn=（mn﹣1）2﹣1≥﹣1，

又两条切线垂直，故k1k2=﹣1，

所以上式等号成立，有m+n=2 ，且mn=1．

所以f（x）=x3﹣（m+n）x2+mnx=x3﹣2 x2+x．

解：（1）由 解得A（0，0），B（2p，2p）

∴ ，

∴p=2

（2）由（1）得x2=4y，A（0，0），B（4，4）

假设抛物线L上存在异于点A、B的点C ，

使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线令圆的圆心为N（a，b），

则由 

得 

得  

∵抛物线L在点C处的切线斜率 

又该切线与NC垂直，

∴  ∴ 

∵t≠0，t≠4，

∴t=﹣2 故存在点C且坐标为（﹣2，1）．

解：（Ⅰ）连接（O为坐标原点，为右焦点），

由题意知：椭圆的右焦点为，

因为FO是的中位线，且，

所以，

所以，

故，

在中，，

即，

又，

解得，

所求椭圆的方程为。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆G：，

设直线l的方程为y=k（x+2）并代入，

整理得：，

由得：，

设，

则由中点坐标公式得：，

①当k=0时，有N（0，0），直线MN显然过椭圆的两个顶点；

②当时，则，直线的方程为，

此时直线显然不能过椭圆的两个顶点；

若直线过椭圆的顶点，

则，即，

所以，解得：（舍去）；

若直线过椭圆的顶点，

则，即，

所以，解得：（舍去）；

综上，当或或时， 直线过椭圆的顶点。

（Ⅲ）由（Ⅰ）得椭圆的方程为，

根据题意可设，则，

则直线的方程为，…①

过点P且与AP垂直的直线方程为，…②

①×②并整理得：，

又P在椭圆W上，

所以，所以，

即①、②两直线的交点B在椭圆W上，

所以PA⊥PB。

解：（1）由 =（-2-x，1-y），=（2-x，1-y）

可得 +=（-2x，2-2y），

∴|+|=，

·（+）+2=（x，y）（0，2）+2=2y+2

由题意可得=2y+2，化简可得x2=4y.

（2）假设存在点P（0，t）（t＜0），满足条件，

则直线PA的方程是y=，直线PB的方程是y=

∵-2＜x0＜2，

∴

①当-1＜t＜0时，，存在x0∈（-2，2），

使得

∴l∥PA，

∴当-1＜t＜0时，不符合题意；

②当t≤-1时，，，

∴l与直线PA，PB一定相交，分别联立方程组，，

解得D，E的横坐标分别是，

∴

∵|FP|=-

∴=

∴

∴=×

∵x0∈（-2，2），

△QAB与△PDE的面积之比是常数

∴，解得t=-1，

∴△QAB与△PDE的面积之比是2。