热门试卷

解：（1）依题意的定义域为（0，+∞）

因为h（x）在（0，+∞）上是增函数

所以对x∈（0，+∞）恒成立

所以

因为x>0，

所以（当且仅当时取等号）

所以b的取值范围是。

（2）设则函数化为

∵

所以当，即时，函数y在[1，2]上是增函数，

当t=1时，ymin=b+1

当，即-4＜b＜-2时，当时，

；

当，即b≤-4时，函数y在[1，2]上是减函数，

当t=2时，ymin=4+2b

综上所述，当时，φ（x）的最小值为b+l；

当-4＜b＜-2时，φ（x）的最小值为；

当b≤-4时，φ（x）的最小值为4+2b。

（3）设点P、Q的坐标是（x1，y1）、（x2，y2），且0＜x1＜x2，

则点M、N的横坐标为

C1在点M处的切线斜率为

C2在点N处的切线斜率为

假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，

则k1=k2，即

所以

所以

设

则

令

则

因为u>1，

所以r'（u）>0

所以r（u）在（1，+∞）上单调递增

故r（u）>r（1）=0。

则这与①矛盾，故假设不成立，

故不存在点R，使C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行。

（I）b=2时，h（x）=lnx-ax2-2x，

则h′（x）=-ax-2=-．

因为函数h（x）存在单调递减区间，所以h'（x）＜0有解．

又因为x＞0时，则ax2+2x-1＞0有x＞0的解．

①当a＞0时，y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线，ax2+2x-1＞0总有x＞0的解；

②当a＜0时，y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线，而ax2+2x-1＞0总有x＞0的解；

则△=4+4a＞0，且方程ax2+2x-1=0至少有一正根．此时，-1＜a＜0．

综上所述，a的取值范围为（-1，0）∪（0，+∞）．

（II）设点P、Q的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），0＜x1＜x2．

则点M、N的横坐标为x=，

C1在点M处的切线斜率为k1=，x=，k1=，

C2在点N处的切线斜率为k2=ax+b，x=，k2=+b．

假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2．

即=+b，

则

=（x22-x12）+b（x2-x1）

=（x22+bx2）-（x12+bx1）

=y2-y1=lnx2-lnx1．

所以ln=．设t=，则lnt=，t=1①

令r（t）=lnt-，t＞1．则r′t=-=．

因为t＞1时，r'（t）＞0，所以r（t）在[1，+∞）上单调递增．故r（t）＞r（1）=0．

则lnt＞．这与①矛盾，假设不成立．

故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．

（1）由题意知，m≠0，l1与l2的斜率分别为 m，，斜率之积等于-1，故l1⊥l2．

（2）由题意知，A（0，1），B（1，0），AB=，四边形OAPB为圆内接四边形（有一组对角互补且都是直角），

把l1与l2相的方程联立方程组可解得点P（，），AB 的方程为x+y-1=0，

点P到 AB 的距离为 =，

 由四边形OAPB的面积S等于两个直角三角形OAB和APB的面积之和，

∴S=×1×1+××=+=，

故 m=0 时，S有最大值为 1．

（3）U=S+=+（1+m2），|m|＜1，U的导数U′=+2m=2m（1-）＞0，

∴U 在其定义域（-1，1）内是单调增函数．