热门试卷

（1）证明：∵ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱，

∴AA1⊥面AC，

又BD⊂面AC，所以AA1⊥BD．                （2分）

又∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD

∵AA1∩AC=A

所以BD⊥面AA1C．                                          （4分）

即BD⊥面O1AC，又BD⊂面O1BD，

所以平面O1AC⊥平面O1BD．                                   （6分）

（2）解：过O作OH⊥BC于H，连接O1H，则∠O1HO为二面角O1-BC-D的平面角．       （8分）

在Rt△BHO中，OB=2，∠OBH=60°，∴．              （10分）

又O1O∥A1A，∴O1O⊥OH．

∴．

故二面角O1-BC-D的大小为．                           （12分）

（注：向量解法，酌情给分）

解：（Ⅰ）证明：延长B2E交AB1于N，

∵△ABB1≌△EBB2，

∴∠AB1B=∠EB2B，

∵∠AB1B+∠B1AB=90°，

∴∠EB2B+∠B1AB=90°，

∴∠ANB2=90°

即 AB1⊥B2E

又∵EF⊥AB1∵EF∩B2E=E

∴AB1⊥平面EFC2B2

又∵AB1⊂平面ADC1B1，

∴平面ADC1B1⊥平面EFC2B2；

（Ⅱ）如图，以CB1，CC2，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，

设AA1=a

∵AB=BC=1，则B2（1，a，0），A（1，-1，0），D（0，-1，0），B1（1，0，a）

∴=（1，a，0），

设平面ADC1B1的一个法向量为，

则由，取

设直线

解得a=

（Ⅲ）

（1）证明：连接ON

∵ON=OB，M为BN的中点，∴△ONB中，BN⊥OM

∵PN=PB，M为BN的中点，∴△PNB中，BN⊥PM

∵OM∩PM=M，

∴BN⊥平面POM；

（2）证明：连接AN

∵O，M分别为AB，BN的中点，∴OM∥AN

∵OM⊄平面ANN′D，AN⊂平面ANN′D

∴ON∥平面ANN′D

∵PO∥NN′，PO⊄平面ANN′D，NN′⊂平面ANN′D

∴PO∥平面ANN′D

∵OM∩PO=0，

∴平面POM∥平面ANN′D；

（3）解：过点P作直线l∥OM，∵点P在平面POM内，∴l在平面POM内．

又∵AN∥OM，∴直线l∥AN，∴l在平面PAN内．

∴l为平面PAN与平面POM的交线，

取AN中点E，连接PE、EO，

∵PA=PN，∴PE⊥AN，∴PE⊥直线l，

又∵PO⊥OM，∴PO⊥直线l，∴∠EPO为平面PAN与平面POM所成角．

当时，AN=AO=1，

∴直角三角形PAE中，，

又△ANO中，OE=，

∴直角三角形POE中，．