热门试卷

解：（ I）设BC=a，则AB=2a，BB1=a，

所以---------（2分）

因为--------------------------（4分）----------------------（5分）

所以------------（6分）

（II）由点C作CH⊥QR于点H，连结PH，

因为PC⊥面CQR，QR⊂面CQR，

所以PC⊥QR．

因为PC∩CH=C，

所以QR⊥面PCH，

又因为PH⊂面PCH，

所以QR⊥PH，

所以∠PHC是二面角P-QR-C的平面角--------------------（9分）

而

所以----------------------------------------------（12分）

（1）证明：∵△ABC是正三角形，M是AC中点，

∴BM⊥AC，即BD⊥AC．

又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．

又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．

∴BD⊥PC．

（2）解：分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，

∴B（4，0，0），C（2，2，0），D（0，，0），P（0，0，4）．

设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），则

∵=（2，2，-4），=（4，0，-4），

∴，

令z=3，得x=3，y=，则平面PBC的一个法向量为=（3，，3），

同理可求平面DPC的法向量=（-1，，1）．

设二面角D-PC-B的大小为θ，则cosθ==．

∴二面角D-PC-B余弦值为．

（Ⅰ）证明：连结OC，因AC=BC，O是AB的中点，

故OC⊥AB．            …（1分）

又因平面ABC⊥平面ABEF，

故OC⊥平面ABEF，

于是OC⊥OF．         …（3分）

又OF⊥EC，

所以OF⊥平面OEC，

所以OF⊥OE，…（5分）

又因OC⊥OE，故OE⊥平面OFC，

所以OE⊥FC．         …（7分）

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得AB=2AF．不妨设AF=1，则AB=2．

因为△ABC为等边三角形，则AC=BC=2，…（9分）

过O作OG⊥FC，垂足为G，连接EG，

则∠OGE就是二面角E-FC-O的平面角．…（11分）

在△OFC中，FC=，CO=，OF=，

所以OG=•，

所以OG=，

又EO=，

所以tan∠EGO==，

即二面角E-FC-O的正切值为．                          …（14分）

解：解法一：（Ⅰ）如图以A为坐标原点，AB，AP

所在直线分别为x，z轴建立空间直角坐标系．

∵，AC⊥BD，

在Rt△ABC中，由射影定理得，则AD：DC=1：2

∴A（0，0，0），B（2，0，0），，，P（0，0，2）

又E是PC的中点，∴

∴，

∴，

∴，，

又DE∩BE=E，∴PC⊥平面BDE（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面BDE的法向量，

平面BAP的法向量，∴

设平面BDE与平面ABP的夹角为θ，

则，∴θ=45°，

∴平面BDE与平面ABP的夹角为45°（12分）

解法二：（Ⅰ）∵在Rt△PAB中，AP=AB=2，

∴

又E是PC的中点，∴BE⊥PC，

∵PA⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC

∴PA⊥BD，∵AC⊥BD，又AP∩AC=A

∴BD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，

∴BD⊥PC，又BE∩BD=B，∴PC⊥平面BDE（6分）

（Ⅱ）∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，

∴BC⊥平面BAP，BC⊥PB，

又由（Ⅰ）知PC⊥平面BDE，

∴直线PC与BC的夹角即为平面BDE与平面BAP的夹角，

在△PBC中，PB=BC，∠PBC=90°，∠PCB=45°

所以平面BDE与平面BAP的夹角为45°（12分）