热门试卷

解：（I）由题意画出图如下：

由AB=AC，D为BC的中点，得AD⊥BC，

又PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，得到PO⊥BC，

∵PO∩AD=O∴BC⊥平面PAD，故BC⊥PA．

（II）如图，在平面PAB中作BM⊥PA于M，连接CM，

∵BC⊥PA，∴PA⊥平面BMC，∴AP⊥CM，故∠BMC为二面角B-AP-C的平面角，

在直角三角形ADB中，；

在直角三角形POD中，PD2=PO2+OD2，在直角三角形PDB中，PB2=PD2+BD2，∴PB2=PO2+OD2+BD2=36，得PB=6，

在直角三角形POA中，PA2=AO2+OP2=25，得PA=5，

又cos∠BPA=，从而．

故BM=，

∵BM2+MC2=BC2，∴二面角B-AP-C的大小为90°．

证明：（Ⅰ）∵PA⊥面ABCD，CD⊈面ABCD，

∴PA⊥CD．

又在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，，

∴AD=2a，AC=CD=a

∴AD2=AC2+CD2

∴AC⊥CD．

∵PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC．

∵AM⊈面PAC，∴AM⊥CD；

解：（Ⅱ）取AC的中点N，连接MN，过N作NQ⊥AD，垂足为Q，连接MQ．

∵M是PC的中点，∴MN∥PA．

∵PA⊥面ABCD，∴MN⊥面ABCD，

则∠MQN为二面角M-AD-C的平面角．

∵，，

∴∠MQN=45°，即二面角M-AD-C的大小为450．

（1）证明：∵AD∥EF，EF∥BC，

∴AD∥BC．

又∵BC=2AD，G是BC的中点，

∴AD∥GB，AD=GB，

∴四边形ADGB是平行四边形，

∴AB∥DG．

∵AB⊄平面DGE，DG⊂平面DEG，

∴AB∥平面DEG…7分

（2）解：∵EF⊥面AEB，AE⊂面AEB，BE⊂面AEB，

∴EF⊥AE，EF⊥BE，又AE⊥EB∴EB，EF，EA两两垂直，

以E为坐标原点，EB，EF，EA分别为

x、y、z轴建立空间直角坐标系，

由已知得，B（2，0，0），D（0，2，2），C（2，4，0），F（0，3，0），…8分

=（2，0，0），=（-2，-1，0），∴cos，

∴异面直线BD与CF所成角的余弦值…14分

（1）证明：在矩形ACC1A1中，AA1==3，AB=2，BC=1

∴AB2=AC2+BC2

∴BC⊥AC

∵AA1⊥平面ABC，

∴AA1⊥BC

∵AA1∩AC=A

∴BC⊥平面ACC1A1；

（2）解：分别取BB1中点M和AB中点E，由DM∥B1C1，EM∥AB1，得平面EMD∥平面AB1C1，∴DE∥平面AB1C1，

即E为AB中点时，DE∥平面AB1C1；

（3）解：以C为坐标原点，CB，CC1，CA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则C（0，0，0），B（1，0，0），A（0，0，），C1（0，，0），B1（1，，0），A1（0，，），D（0，，0）

设是平面ABB1的一个法向量

由可得，∴可取=（）

∵是平面AB1C1的一个法向量，且与二面角B-AB1-C1的大小相等

∴cos==-

∴所求二面角B-AB1-C1的余弦值的大小为-．