热门试卷

解：（Ⅰ）设AC与DE交点为G，延长DE交CB的延长线于点F，

则△DAE≌△FBE，∴BF=AD=1，∴CF=4，∴，

又∵，∴∠F=∠ACD，

又∵∠ACD+∠ACF=90°，∴∠F+∠ACF=90°，

∴∠CGF=90°，∴AC⊥DE

又∵PC⊥底面ABCD，∴PC⊥DE，∴DE⊥平面PAC，

∵DE⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAC

（Ⅱ）连接PG，过点C作CH⊥PG于H点，取PD中点I，连接CI，易知CI⊥PD

又由（Ⅰ）知平面PDE⊥平面PAC，且PG是交线，

根据面面垂直的性质，得CH⊥平面PDE，

由三垂线定理知HI⊥PD

从而∠CIH为二面角C-PD-E的平面角

在等腰Rt△PCD中，；

在Rt△DCA中，=，

在Rt△PCG中，

从而，则

即二面角C-PD-E的大小为

（Ⅲ）由于，所以可知点B到平面PDE的距离等于点C到平面PDE的距离的，即．在Rt△PCG中，，

从而点B到平面PDE的距离等于．

（I）证明：连接AC1，∵侧棱AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥AB，又∵AB⊥AC．

∴AB⊥平面A1ACC1．又∵CA1⊂平面A1ACC1，∴AB⊥CA1．（2分）

∵AC=AA1=1，∴四边形A1ACC1为正方形，∴AC1⊥CA1．

∵AC1∩AB=A，∴CA1⊥平面AC1B．（4分）

又C1P⊂平面AC1B，∴CA1⊥C1P． （6分）

（II）解：∵AC⊥AB，AA1⊥AC，且C1A1⊥平面ABB1A，BB1⊥AB，

由，知=，

解得PA=1，P是AB的中点．

（8分）

连接A1P，则PB1⊥A1P，∵C1A1⊥平面A1B1BA，∴PB1⊥C1A1，∴PB1⊥C1P，

∴∠C1PA1是二面角的平面角，（10分）

在直角三角形C1PA1中，，

∴，即二面角的余弦值是

解：（1）设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1中点，

∵D为AC中点，∴PD∥B1C．

又∵PD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD

∴B1C∥平面A1BD．

（2）∵正三棱住ABC-A1B1C1，

∴AA1⊥底面ABC．

又∵BD⊥AC

∴A1D⊥BD

∴∠A1DA就是二面角A1-BD-A的平面角．

∵AA1=，AD=AC=1

∴tan∠A1DA=

∴∠A1DA=，即二面角A1-BD-A的大小是．

（3）由（2）作AM⊥A1D，M为垂足．

∵BD⊥AC，平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC

∴BD⊥平面A1ACC1，

∵AM⊂平面A1ACC1，

∴BD⊥AM

∵A1D∩BD=D

∴AM⊥平面A1DB，连接MP，则∠APM就是直线A1B与平面A1BD所成的角．

∵AA1=，AD=1，∴在Rt△AA1D中，∠A1DA=，

∴AM=1×sin60°=，AP=AB1=．

∴sin∠APM=

∴直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值为．