用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题_章节学习

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题型：填空题

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填空题

在等边三角形ABC中，M、N、P分别为AB、AC、BC的中点，沿MN将△AMN折起，使得面AMN与面MNCB所成的二面角的余弦值为，则直线AM与NP所成角α应满足______．

正确答案

60°

解析

解：设等边三角形ABC的边长为4，取MN的中点O，连接AO，OP，则cos∠AOP=

∵AO=OP=

∴AP==2

连接NP，则

∵N、P分别为AAC、BC的中点，∴NP∥MB

∴∠AMB（或其补角）是直线AM与NP所成角α

∵AM=MB=2

∴∠AMB=60°

故答案为：60°

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题型：简答题

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简答题

已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=．点F，E分别是边A1C1和侧棱BB1的中点．

（1）证明：FB⊥平面AEC；

（2）求二面角F-AE-C的余弦值．

正确答案

（1）证明：取AC的中点O，连接OF，OB，则有A1A∥FO，故FO⊥平面ABC，

在正三角形ABC中，O是AC的中点，故OB⊥AC，OA=OC=1，OB=，

如图，以O为原点，分别以OA，OB，OF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，0，0），E（0，，），F（0，0，），

∴=（0，，-），=（-1，，），=（-2，0，0），=（-1，0，），

∵=（0，，-）•（-1，，）=0，

∴，即FB⊥AE，

又∵=（0，，-）•（-2，0，0），

∴，即FB⊥AC，

而AE∩AC=A，∴FB⊥平面ABC； …（6分）

（2）解：设平面AEF的法向量为=（a，b，c），

则，令c=，则a=6，b=，

即=（6，，），由（1）知平面AEC的一个法向量为，

设二面角F-AE-C的平面角为θ，易知，

∴cosθ=||=． …（12分）

解析

（1）证明：取AC的中点O，连接OF，OB，则有A1A∥FO，故FO⊥平面ABC，

在正三角形ABC中，O是AC的中点，故OB⊥AC，OA=OC=1，OB=，

如图，以O为原点，分别以OA，OB，OF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，0，0），E（0，，），F（0，0，），

∴=（0，，-），=（-1，，），=（-2，0，0），=（-1，0，），

∵=（0，，-）•（-1，，）=0，

∴，即FB⊥AE，

又∵=（0，，-）•（-2，0，0），

∴，即FB⊥AC，

而AE∩AC=A，∴FB⊥平面ABC； …（6分）

（2）解：设平面AEF的法向量为=（a，b，c），

则，令c=，则a=6，b=，

即=（6，，），由（1）知平面AEC的一个法向量为，

设二面角F-AE-C的平面角为θ，易知，

∴cosθ=||=． …（12分）

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题型：简答题

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简答题

CD是直角三角形ABC斜边上的高，BD=2AD，将△ACD绕CD旋转到△A′CD，使二面角A′-CD-B为60°．

（1）求证：BA′⊥面A′CD；

（2）求异面直线A′C与BD所成角的余弦．

正确答案

证明：（1）∵BD=2AD

∴BD=2AD

∵二面角A′-CD-B为60°，∠BDA为二面角A′-CD-B的平面角

∴∠BDA=60°

∴△BAA′D为直角三角形

∴A′D⊥A′B

又∵CD⊥A′B，CD∩A′D=D

∴BA′⊥面A′CD

（2）过A′作BD的平行线A′E然后构造平行四边形BA′DE

∴根据异面直线所成的角的定义可得∠CA′E异面直线A′C与BD所成角

设AD=1

∴BD=2，，CD=，A′D=1，CE=

∴由余弦定理得：cos∠CA′E==

即异面直线A′C与BD所成角的余弦为

解析

证明：（1）∵BD=2AD

∴BD=2AD

∵二面角A′-CD-B为60°，∠BDA为二面角A′-CD-B的平面角

∴∠BDA=60°

∴△BAA′D为直角三角形

∴A′D⊥A′B

又∵CD⊥A′B，CD∩A′D=D

∴BA′⊥面A′CD

（2）过A′作BD的平行线A′E然后构造平行四边形BA′DE

∴根据异面直线所成的角的定义可得∠CA′E异面直线A′C与BD所成角

设AD=1

∴BD=2，，CD=，A′D=1，CE=

∴由余弦定理得：cos∠CA′E==

即异面直线A′C与BD所成角的余弦为

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题型：单选题

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单选题

已知二面角α-l-β的大小为60°，b和c是两条直线，则下列四个条件中，一定能使b和c所成的角为60°的条件是（　　）

Ab∥α，c∥β

Bb∥α，c⊥β

Cb⊥α，c⊥β

Db⊥α，c∥β

正确答案

C

解析

解：对于A，当b∥α且c∥β时，b、c可能都与α、β的交线平行，故A不符合题意；

对于B，当b∥α且c⊥β时，可能b与α、β的交线平行，

由线面垂直的性质可得b和c互相垂直，得B不符合题意；

对于C当b⊥α且c⊥β时，b、c所成的角与二面角α-l-β的大小相等或互补，

结合二面角α-l-β的大小为60°，得b和c所成的角为60°，故C符合题意；

对于D，当b⊥α且c∥β时，类似B的分析可得b、c可能互相垂直，故D不符合题意．

故选：C

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题型：简答题

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简答题

如图，平面EAD⊥平面ABFD，△AED为正三角形，四边形ABFD为直角梯形，且∠BAD=90°，

AB∥DF，AD=a，AB=a，DF=．

（I）求证：EF⊥FB；

（II）求二面角A-BF-E的大小；

（Ⅲ）点P是线段EB上的动点，当∠APF为直角时，求BP 的长度．

正确答案

解：（I）证明：连接OF，则，，，

所以OB2=OF2+FB2，即OF⊥FB．

又因为EO⊥FB，所以FB⊥平面EOF，得EF⊥FB．（3分）

方法一

（Ⅱ）∵平面EAD⊥平面ABCD，过点E向AD引垂线交AD于点O，连接OB，OF，延长DF到点C，使CD=AB，

则，，，

所以OB2=OF2+FB2，即∠EFO为二面角A-BF-E的平面角，

在Rt△EOF中，EO=OF，所以．（6分）

方法二：（II ）取AD的中点O，连接OE，则EO⊥AD，EO⊥平面ABCDD，建立如图所示的直角坐标系，设AD=a，

则，则，

则，

所以，，

可求得平面EFB的法向量为，

平面ABCD的一个法向量为，

则二面角A-BF-E的大小为θ，，即二面角为．（6分）

（Ⅲ）设，（0≤t≤1）则==，同理，，（8分）

=，

由=0，解得t=或，

所以BP=．（10分）

解析

解：（I）证明：连接OF，则，，，

所以OB2=OF2+FB2，即OF⊥FB．

又因为EO⊥FB，所以FB⊥平面EOF，得EF⊥FB．（3分）

方法一

（Ⅱ）∵平面EAD⊥平面ABCD，过点E向AD引垂线交AD于点O，连接OB，OF，延长DF到点C，使CD=AB，

则，，，

所以OB2=OF2+FB2，即∠EFO为二面角A-BF-E的平面角，

在Rt△EOF中，EO=OF，所以．（6分）

方法二：（II ）取AD的中点O，连接OE，则EO⊥AD，EO⊥平面ABCDD，建立如图所示的直角坐标系，设AD=a，

则，则，

则，

所以，，

可求得平面EFB的法向量为，

平面ABCD的一个法向量为，

则二面角A-BF-E的大小为θ，，即二面角为．（6分）

（Ⅲ）设，（0≤t≤1）则==，同理，，（8分）

=，

由=0，解得t=或，

所以BP=．（10分）

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