用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

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题型：填空题

填空题

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C与对角面DD1B1B所成角的大小是______．

正确答案

30°

解析

解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，2）

∴=（-2，0，2），=（-2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．

∴cos==，

∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为，

∴BC1与平面BB1D1D所成角为30°．

故答案为：30°．

题型：简答题

简答题

如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．

（1）求异面直线EB与AC所成角的余弦值；

（2）求直线EB和平面ABC的所成角的正弦值．

（3）求点E到面ABC的距离．

正确答案

解：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．则有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）…（3分）

∴=（2，-1，0），=（0，2，-1）

∴cos＜，＞==- …（4分）

∴异面直线EB与AC所成角的余弦值为…（5分）

（2）设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则，∴可取=（1，1，2），…（7分）

∴，…（8分）

故BE和平面ABC的所成角的正弦值为…（9分）

（3）E点到面ABC的距离

∴E点到面ABC的距离为…（12分）

解析

解：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．则有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）…（3分）

∴=（2，-1，0），=（0，2，-1）

∴cos＜，＞==- …（4分）

∴异面直线EB与AC所成角的余弦值为…（5分）

（2）设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则，∴可取=（1，1，2），…（7分）

∴，…（8分）

故BE和平面ABC的所成角的正弦值为…（9分）

（3）E点到面ABC的距离

∴E点到面ABC的距离为…（12分）

题型：简答题

简答题

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m．

（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为；

（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论．

正确答案

解：（1）连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD1B1相交于点G，

连接OG，因为PC∥平面BDD1B1，平面BDD1B1∩平面APC=OG，

故OG∥PC，所以，OG=PC=．

又AO⊥BD，AO⊥BB1，所以AO⊥平面BDD1B1，

故∠AGO是AP与平面BDD1B1所成的角．

在Rt△AOG中，tan∠AGO=，即m=．

所以，当m=时，直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为．

（2）可以推测，点Q应当是AICI的中点，当是中点时

因为D1O1⊥A1C1，且 D1O1⊥A1A，A1C1∩A1A=A1，

所以 D1O1⊥平面ACC1A1，

又AP⊂平面ACC1A1，故 D1O1⊥AP．

那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直．

解析

解：（1）连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD1B1相交于点G，

连接OG，因为PC∥平面BDD1B1，平面BDD1B1∩平面APC=OG，

故OG∥PC，所以，OG=PC=．

又AO⊥BD，AO⊥BB1，所以AO⊥平面BDD1B1，

故∠AGO是AP与平面BDD1B1所成的角．

在Rt△AOG中，tan∠AGO=，即m=．

所以，当m=时，直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为．

（2）可以推测，点Q应当是AICI的中点，当是中点时

因为D1O1⊥A1C1，且 D1O1⊥A1A，A1C1∩A1A=A1，

所以 D1O1⊥平面ACC1A1，

又AP⊂平面ACC1A1，故 D1O1⊥AP．

那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直．

题型：单选题

单选题

两平行平面之间的距离等于12，一直线与它们相交且夹在两平面间的线段长等于24，则该直线与这两个平行平面所成角等于（　　）

A90°

B60°

C45°

D30°

正确答案

解析

解：设该直线与这两个平行平面所成角为α，则

∵两平行平面之间的距离等于12，一直线与它们相交且夹在两平面间的线段长等于24，

∴

∴α=30°

故选D．

题型：简答题

简答题

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知∠BAC=90°，AB=AC=1，AA1=3，点E，F分别在棱BB1，CC1上，且C1F=C1C，BE=λBB1，0＜λ＜1．

（1）当λ=时，求异面直线AE与A1F所成角的大小；

（2）当直线AA1与平面AEF所成角的正弦值为时，求λ的值．

正确答案

解：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．

（1）因为AB=AC=1，AA1=3，，

所以各点的坐标为A（0，0，0），E（1，0，1），A1（0，0，3），

F（0，1，2）．，． …（2分）

因为，，

所以．所以向量和所成的角为120°，

所以异面直线AE与A1F所成角为60°． …（4分）

（2）因为E（1，0，3λ），F（0，1，2），所以．

设平面AEF的法向量为n=（x，y，z），

则，且．

即x+3λz=0，且y+2z=0．令z=1，则x=-3λ，y=-2．

所以=（-3λ，-2，1）是平面AEF的一个法向量． …（6分）

又，则，

又因为直线AA1与平面AEF所成角的正弦值为，

所以，解得，． …（10分）

解析

解：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．

（1）因为AB=AC=1，AA1=3，，

所以各点的坐标为A（0，0，0），E（1，0，1），A1（0，0，3），

F（0，1，2）．，． …（2分）

因为，，

所以．所以向量和所成的角为120°，

所以异面直线AE与A1F所成角为60°． …（4分）

（2）因为E（1，0，3λ），F（0，1，2），所以．

设平面AEF的法向量为n=（x，y，z），

则，且．

即x+3λz=0，且y+2z=0．令z=1，则x=-3λ，y=-2．

所以=（-3λ，-2，1）是平面AEF的一个法向量． …（6分）

又，则，

又因为直线AA1与平面AEF所成角的正弦值为，

所以，解得，． …（10分）

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