用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

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题型：简答题

简答题

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AB=1，BC=2，PA⊥底面ABCD．

（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；

（2）在边BC上是否存在一点G，使得PD与平面PAG所成的正弦是．

正确答案

（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，

∴PA⊥CD，

∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥AD，

∴CD⊥平面PAD，

∵CD⊂平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD；

（2）在边BC上假设存在一点G，使得PD与平面PAG所成的正弦是．

过D作DO⊥平面PAG，垂足为O，连接PO，

则∠DPO为PD与平面PAG所成的角．

设BG=x，则△ADG的面积为1，AG=，

直角三角形PAG的面积为，

在直角三角形PAD中，PD=，

由sin∠DPO=，得DO=PDsin∠DPO=1．

由等积法，得VP-ADG=VD-PAG，即PA•S△ADG=DO•S△PAG，

1=，解得x=．

故在边BC上一点G，使得BG=，PD与平面PAG所成的正弦是．

解析

（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，

∴PA⊥CD，

∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥AD，

∴CD⊥平面PAD，

∵CD⊂平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD；

（2）在边BC上假设存在一点G，使得PD与平面PAG所成的正弦是．

过D作DO⊥平面PAG，垂足为O，连接PO，

则∠DPO为PD与平面PAG所成的角．

设BG=x，则△ADG的面积为1，AG=，

直角三角形PAG的面积为，

在直角三角形PAD中，PD=，

由sin∠DPO=，得DO=PDsin∠DPO=1．

由等积法，得VP-ADG=VD-PAG，即PA•S△ADG=DO•S△PAG，

1=，解得x=．

故在边BC上一点G，使得BG=，PD与平面PAG所成的正弦是．

题型：简答题

简答题

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2CD，E为PB的中点．

（1）证明：CE⊥AB；

（2）若AB=PA=2，求四棱锥P-ABCD的体积；

（3）若∠PDA=60°，求直线CE与平面PAB所成角的正切值．

正确答案

解：（1）如图，取AB的中点F，连接EF，CF，则：EF∥PA，CF∥AD；

PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD；

∴PA⊥AB；

∴EF⊥AB；

∵∠BAD=∠ADC=90°，∴AB⊥AD；

∴AB⊥CF，且EF∩CF=F；

∴AB⊥平面EFC，CE⊂平面EFC；

∴AB⊥CE，即CE⊥AB；

（2）由题意知，四边形ABCD为梯形，；

∴；

（3）CF⊥AB，CF⊥PA；

∴CF⊥平面PAB；

∴∠CEF为CE与平面PAB所成的角；

∵∠PDA=60°，∴；

∴，CF=AD；

∴；

∴直线CE与平面PAB所成角的正切值为．

解析

解：（1）如图，取AB的中点F，连接EF，CF，则：EF∥PA，CF∥AD；

PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD；

∴PA⊥AB；

∴EF⊥AB；

∵∠BAD=∠ADC=90°，∴AB⊥AD；

∴AB⊥CF，且EF∩CF=F；

∴AB⊥平面EFC，CE⊂平面EFC；

∴AB⊥CE，即CE⊥AB；

（2）由题意知，四边形ABCD为梯形，；

∴；

（3）CF⊥AB，CF⊥PA；

∴CF⊥平面PAB；

∴∠CEF为CE与平面PAB所成的角；

∵∠PDA=60°，∴；

∴，CF=AD；

∴；

∴直线CE与平面PAB所成角的正切值为．

题型：简答题

简答题

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．

（1）求证：PE⊥平面ABCD；

（2）求直线BM与平面ABCD所成角的正切值．

正确答案

解：（1）∵PA=PD，E为AD的中点，∴PE⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PE⊥平面ABCD．

（2）以E为原点、EA、EB、EP分别为x轴、y轴、z轴，

建立空间直角坐标系，如图所示

则E（0，0，0），A（1，0，0），P（0，0，），B（0，，0），

M（，，），

∴=（，，），平面ABCD的法向量为==（0，0，），

∴=，||=

cos＜，＞==

设直线BM与平面ABCD所成角为θ，

sinθ=，cosθ=，tanθ=

解析

解：（1）∵PA=PD，E为AD的中点，∴PE⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PE⊥平面ABCD．

（2）以E为原点、EA、EB、EP分别为x轴、y轴、z轴，

建立空间直角坐标系，如图所示

则E（0，0，0），A（1，0，0），P（0，0，），B（0，，0），

M（，，），

∴=（，，），平面ABCD的法向量为==（0，0，），

∴=，||=

cos＜，＞==

设直线BM与平面ABCD所成角为θ，

sinθ=，cosθ=，tanθ=

题型：填空题

填空题

正四面体ABCD中，E，F分别是棱BC，AD的中点，则直线DE与平面BCF所成角的正弦值为______．

正确答案

解析

解：如图所示，连接EF．

不妨设BC=2，由正四面体可知：每个面都为正三角形，

∴DE⊥BC，=BF=CF，∴FE⊥BC，∴FE=，BC⊥平面DEF，因此∠DEF为直线DE与平面BCF所成角．

在△DEF中，由余弦定理可得：cos∠DEF==，∴．

∴直线DE与平面BCF所成角的正弦值为．

故答案为．

题型：简答题

简答题

如图，几何体SABC的底面是由以AC为直径的半圆O与△ABC组成的平面图形，SO⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=SB=SC=A C=4，BC=2．

（l）求直线SB与平面SAC所成角的正弦值；

（2）求几何体SABC的正视图中△S1A1B1的面积；

（3）试探究在圆弧AC上是否存在一点P，使得AP⊥SB，若存在，说明点P的位置并证明；若不存在，说明理由．

正确答案

解：（1）如图1过点B作BH⊥AC于点H，连接SH．

∵SO⊥平面ABC，BH⊂平面ABC，

∴BH⊥SO．

又SO∩AC=O，

∴BH⊥平面SAC，

即∠BSH就是直线SB与平面SAC所成角．

在△ABC中，∵AB⊥BC，AC=4，BC=2，

∴∠ACB=60°，．

在Rt△BSH中，∵SB=4，

∴，

即直线SB与平面SAC所成角的正弦值为．

（2）由（1）知，几何体SABC的正视图中，△S1A1B1的边，

而HC=2cos60°=1，∴．

又△S1A1B1的边A1B1上的高等于几何体SABC中SO的长，而SA=SC=AC=4，∴SO=，

∴．

（3）存在．

证明如下：

如图2，连接BO并延长交弧AC于点M，

在底面内，过点A作AP⊥BM交弧AC于点P．

∵SO⊥平面ABC．

而AP⊂平面ABC，∴AP⊥SO．

又∵AP⊥BM，SO∩BM=O，

∴AP⊥平面SOB，从而AP⊥SB．

又∵AO=OC=BC=2，∴∠AOM=∠BOC=∠ACB=60°，

∴∠AOM=∠POM=60°，∠AOP=120°，

即点P位于弧AC的三等分的位置，且∠AOP=120°．

解析

解：（1）如图1过点B作BH⊥AC于点H，连接SH．

∵SO⊥平面ABC，BH⊂平面ABC，

∴BH⊥SO．

又SO∩AC=O，

∴BH⊥平面SAC，

即∠BSH就是直线SB与平面SAC所成角．

在△ABC中，∵AB⊥BC，AC=4，BC=2，

∴∠ACB=60°，．

在Rt△BSH中，∵SB=4，

∴，

即直线SB与平面SAC所成角的正弦值为．

（2）由（1）知，几何体SABC的正视图中，△S1A1B1的边，

而HC=2cos60°=1，∴．

又△S1A1B1的边A1B1上的高等于几何体SABC中SO的长，而SA=SC=AC=4，∴SO=，

∴．

（3）存在．

证明如下：

如图2，连接BO并延长交弧AC于点M，

在底面内，过点A作AP⊥BM交弧AC于点P．

∵SO⊥平面ABC．

而AP⊂平面ABC，∴AP⊥SO．

又∵AP⊥BM，SO∩BM=O，

∴AP⊥平面SOB，从而AP⊥SB．

又∵AO=OC=BC=2，∴∠AOM=∠BOC=∠ACB=60°，

∴∠AOM=∠POM=60°，∠AOP=120°，

即点P位于弧AC的三等分的位置，且∠AOP=120°．

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