- 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
- 共2973题
正确答案
60°
解析
由容器中的水是原来的
则l′=
设圆柱的母线与水平面所成的角为α
则tanα=
故答案为：60°
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1B和平面A1B1CD所成角的余弦值大小为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
因为A1B1⊥平面BCC1B1．
所以A1B1⊥BC1．
又因为BC1⊥B1C，BC1∩B1C=O
所以BC1⊥平面A1B1CD
所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，
所以∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．
设正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为1，
所以在△A1BO中，A1B=
所以sin∠BA1O=
所以cos∠BA1O=
故选：D．
已知正方体ABCD-A1B1C1D1，过顶点A1作平面α，使得直线AC和BC1与平面α所成的角都为30°，这样的平面α可以有（ ）
正确答案
解析
因为∠CAD1=60°，所以∠CAD1的外角平分线与AC和AD1所成的角相等，均为60°，所以在平面CAD1内有一条满足要求；
因为∠CAD1的角平分线与AC和AD1所成的角相等，均为30°，
过角平分线与平面ACD1垂直的平面，满足要求；
故符合条件的平面有2个．
故选：C．
（1）判断A、B、D、P是否在同一个球面上，说明理由；
（2）若DP与底面所成的角是45°，圆柱的体积为
正确答案
解：（1）在同一球面上，理由：
取线段BD的中点Q，易证△BAD和△BPD都是直角三角形，∴QA=QB=QP=QD，所以A、B、D、P在同一球面上；
（2）依题意，显然∠BAP是二面角B-AD-P的平面角，又DP与底面所成的角是45°，AP=AD=2cos∠BAP，
∴
解析
解：（1）在同一球面上，理由：
取线段BD的中点Q，易证△BAD和△BPD都是直角三角形，∴QA=QB=QP=QD，所以A、B、D、P在同一球面上；
（2）依题意，显然∠BAP是二面角B-AD-P的平面角，又DP与底面所成的角是45°，AP=AD=2cos∠BAP，
∴
（Ⅰ）求证BD⊥A1C；
（Ⅱ）求二面角A1-BD-C1的大小；
（Ⅲ）求异面直线AD与BC1所成角的大小．
正确答案
解：法一：
（I）在直四棱柱ABCD-AB1C1D1中，
∵AA1⊥底面ABCD．∴AC是A1C在平面ABCD上的射影．
∵BD⊥AC．∴BD⊥A1C；
（II）连接A1E，C1E，A1C1．
与（I）同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，
∴∠A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角．
∵AD⊥DC，∴∠A1D1C1=∠ADC=90°，
又A1D1=AD=2，D1C1=DC=2
∴A1C1=4，AE=1，EC=3，∴A1E=2，C1E=2
在△A1EC1中，A1C12=A1E2+C1E2，∴∠A1EC1=90°，
即二面角A1-BD-C1的大小为90°．
（III）过B作BF∥AD交AC于F，连接FC1，
则∠C1BF就是AD与BC1所成的角．
∵AB=AD=2，BD⊥AC，AE=1，
∴BF=2，EF=1，FC=2，BC=DC，∴FC1=
在△BFC1中，cos∠C1BF=
即异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos
法二：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
连接A1E，C1E，A1C1．
与（1）同理可证，BD⊥A1E，BD⊥C1E，
∴∠A1EC1为二面角A1-ED-C1的平面角．
由A1（2，0，
得
∴
∴
∴二面角A1-ED-C1的大小为90°
（Ⅲ）如图，由D（0，0，0），A（2，0，0），C1（0，2
得
∴
∴cos（
∵异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos
法三：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，坐标原点为E．连接A1E，C1E，A1C1．
与（Ⅰ）同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，
∴∠A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角．
由E（0，0，0）A1（0，-1，
得
∵
∴
∴二面角A1-BD-C1的大小为90°．
解析
解：法一：
（I）在直四棱柱ABCD-AB1C1D1中，
∵AA1⊥底面ABCD．∴AC是A1C在平面ABCD上的射影．
∵BD⊥AC．∴BD⊥A1C；
（II）连接A1E，C1E，A1C1．
与（I）同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，
∴∠A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角．
∵AD⊥DC，∴∠A1D1C1=∠ADC=90°，
又A1D1=AD=2，D1C1=DC=2
∴A1C1=4，AE=1，EC=3，∴A1E=2，C1E=2
在△A1EC1中，A1C12=A1E2+C1E2，∴∠A1EC1=90°，
即二面角A1-BD-C1的大小为90°．
（III）过B作BF∥AD交AC于F，连接FC1，
则∠C1BF就是AD与BC1所成的角．
∵AB=AD=2，BD⊥AC，AE=1，
∴BF=2，EF=1，FC=2，BC=DC，∴FC1=
在△BFC1中，cos∠C1BF=
即异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos
法二：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
连接A1E，C1E，A1C1．
与（1）同理可证，BD⊥A1E，BD⊥C1E，
∴∠A1EC1为二面角A1-ED-C1的平面角．
由A1（2，0，
得
∴
∴
∴二面角A1-ED-C1的大小为90°
（Ⅲ）如图，由D（0，0，0），A（2，0，0），C1（0，2
得
∴
∴cos（
∵异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos
法三：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，坐标原点为E．连接A1E，C1E，A1C1．
与（Ⅰ）同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，
∴∠A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角．
由E（0，0，0）A1（0，-1，
得
∵
∴
∴二面角A1-BD-C1的大小为90°．
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