- 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
- 共2973题
正确答案
解析
∵K、H分别为FA，FE的中点，∴KH∥AE．
又AE⊥EF，∴KH⊥EF．
又GH⊥EF，
∴∠KHG即为二面角A-EF-B的平面角，∴∠KHG=120°．
在△KHG中，KH=
∴KG=
故答案为：
正确答案
则
易知，平面A1BC的一个法向量
设平面A1BC1的一个法向量为
由
所以二面角C1-A1B-C的余弦值是
解析
则
易知，平面A1BC的一个法向量
设平面A1BC1的一个法向量为
由
所以二面角C1-A1B-C的余弦值是
过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA=AB=a，求平面PAB和平面PCD所成二面角的大小．
正确答案
解：如图，考虑与平面PAB和平面PCD同时相交的第三平面ABCD，
其交线为AB和CD，而AB∥CD，
则平面PAB和平面PCD所成二面角的棱必与AB，CD平行．
在平面PAB内，过点P作PQ∥AB，
则PQ为平面PAB和平面PCD所成二面角的棱，
然后可证得，PA⊥PQ，PD⊥PQ，
∠APD为所求角，在Rt△APD中可求得，∠APD=45°．
解析
解：如图，考虑与平面PAB和平面PCD同时相交的第三平面ABCD，
其交线为AB和CD，而AB∥CD，
则平面PAB和平面PCD所成二面角的棱必与AB，CD平行．
在平面PAB内，过点P作PQ∥AB，
则PQ为平面PAB和平面PCD所成二面角的棱，
然后可证得，PA⊥PQ，PD⊥PQ，
∠APD为所求角，在Rt△APD中可求得，∠APD=45°．
在直二面角α-β-l中，A∈α，B∈β，AB与α所成角为x，AB与β所成角为y，AB与l所成的角为z，则cos2x+cos2y+sin2z=______．
正确答案
2
解析
解：过A、B分别作AC⊥l于C，BD⊥l于D，过B作直线平行于l，过C作直线平行于BD，两直线交于E，连接AD、AC、AE．
因α一l一β为直二面角，BD在β上，l=α∩β，BD⊥l，故BD⊥α．同理AC⊥β．
又∠BAD、∠ABC分别为AB与α、β所成的角，有∠BAD=x，∠ABC=y．
又EC∥BD，EC⊥l，AC⊥β，有AE⊥l，AE⊥BE，∠EBA=z．
∴cos2x+cos2y+sin2z=
故答案为：2
（Ⅰ）证明：AB1∥平面C1DE；
（Ⅱ）求平面AB1E与平面BB1C1D所成锐二面角的余弦值．
正确答案
∴AA1∥EC1，
∵AA1⊄平面C1DE，EC1⊂平面C1DE，
∴AA1∥平面C1DE；
同理AB∥平面C1DE；
∵AB∩AA1=A
∴平面ABB1A1∥平面C1DE
∴AB1∥平面C1DE；
（Ⅱ）解：延长AE，BD交于点P，连接B1P交C1D于Q，则B1P为平面AB1E与平面BB1C1D的交线，
∵四边形ABDE是等腰梯形，AB∥DE，AB=2AE=2DE=2，
∴AP=BP=2，AB1=BB1=
△AB1P≌△BB1P，作BH⊥B1P于H，
则AH⊥BH，∴∠ABH为平面AB1E与平面BB1C1D所成锐二面角．
∵BH=AH=
∴平面AB1E与平面BB1C1D所成锐二面角的余弦值为
解析
∴AA1∥EC1，
∵AA1⊄平面C1DE，EC1⊂平面C1DE，
∴AA1∥平面C1DE；
同理AB∥平面C1DE；
∵AB∩AA1=A
∴平面ABB1A1∥平面C1DE
∴AB1∥平面C1DE；
（Ⅱ）解：延长AE，BD交于点P，连接B1P交C1D于Q，则B1P为平面AB1E与平面BB1C1D的交线，
∵四边形ABDE是等腰梯形，AB∥DE，AB=2AE=2DE=2，
∴AP=BP=2，AB1=BB1=
△AB1P≌△BB1P，作BH⊥B1P于H，
则AH⊥BH，∴∠ABH为平面AB1E与平面BB1C1D所成锐二面角．
∵BH=AH=
∴平面AB1E与平面BB1C1D所成锐二面角的余弦值为
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