热门试卷

（1）证：取CE中点P，连接FP、BP，

∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP=．

又AB∥DE，且AB=．∴AB∥FP，且AB=FP，

∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．…（2分）

又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，

∴AF∥平面BCE． …（4分）

（2）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD．

∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，

∴DE⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，

∴DE⊥AF．又AF⊥CD，CD∩DE=D，

∴AF⊥平面CDE． …（6分）

又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE．又∵BP⊂平面BCE，

∴平面BCE⊥平面CDE． …（8分）

（3）由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），

建立空间直角坐标系F-xyz．设AC=2，

则C（0，-1，0），．…（9分）

设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，

则令z=1，则n=（0，-1，1）．…（10分）

显然，m=（0，0，1）为平面ACD的法向量．

设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α，则．

α=45°，即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°．…（12分）

解：连结OC．

∵平面PAB⊥平面ABC，PO⊥AB，

∴PO⊥平面ABC．

从而PO⊥AB，PO⊥OC．

∵AC=BC，点O是AB的中点，

∴OC⊥AB．且OA=OB=OC=a． …（2分）

如图，建立空间直角坐标系．

（1）PA=2a，PO=a．A（0，-a，0），B（0，a，0），C（a，0，0），

P（0，0，a），D（0，，a）．  …（4分）

从而=（0，-a，-a），=（-a，，a）．

∵cos＜，＞==-，

∴异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小为． …（6分）

（2）设PO=h，则P（0，0，h）．

∵PO⊥OC，OC⊥AB，∴OC⊥平面PAB．

从而=（a，0，0）是平面PAB的一个法向量．

不妨设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），

∵=（0，a，-h），=（a，-a，0），

∴

不妨令x=1，则y=1，z=，则=（1，1，）．        …（8分）

由已知，得=，化简，得．

∴PA===a．      …（10分）