热门试卷

（1）证明：不妨设正三角形ABC 的边长为3．

在图1中，取BE的中点D，连结DF．

∵AE：EB=CF：FA=1：2，∴AF=AD=2，而∠A=60度，

∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1，∴EF⊥AD．

在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角．

由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE．

又BE∩EF=E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP．

（2）建立分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，

则E（0，0，0），A（0，0，1），

B（2，0，0），F（0，，0），P （1，，0），则，．

设平面ABP的法向量为，

由平面ABP知，，即令，得，．，，

∴直线A1E与平面A1BP所成的角为60度．

（3），

设平面A1FP的法向量为．

由平面A1FP知，

令y2=1，得，．，

所以二面角B-A1P-F的余弦值是．

（I）证明：∵AB∥CG，GE∥AF，

∴AF∥平面CGE，AB∥平面CGE

∵AF∩AB=A

∴平面ABFCE∥平面CGE；

（II）解：∠BAD=60°，AB=6，AD=3，G为CD中点

∴BG⊥AG，∴FG⊥AG

∵平面AGEF⊥平面ABCD，FG⊂平面AGEF

∴FG⊥平面ABCD，

∵BG⊂平面ABCD

∴FG⊥BG

∵AG∩FG=G

∴BG⊥平面AGEF

作GH⊥EF交EF于H，连BH，则BH⊥EF

∴∠BHG为二面B-EF-A的平面角

∵BG=3，GH=，∴

∴

∴二面角-EF-A的平面角的余弦值为．

（1）证明：∵△ABC为等边三角形

∴BC=AC，

∵O为AB中点．所以CO⊥AB，

又因为平面ABC⊥平面ABDE，平面ABC∩平面ABDE=AB，CO⊂平面ABC，

所以CO⊥平面ABDE，

∵DE⊂平面ABDE，

∴CO⊥DE；

（2）解：过C作CF⊥DE，垂足为F，连接OF，则∠CFO为二面角C-DE-A的平面角

在△CDE中，CE=，CD=，DE=

取CD的中点G，则EG⊥CD，∴

利用等面积可得：

∴

∵

∴

∴

∴二面角C-DE-A的余弦值为