热门试卷

（1）证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△BEP≌△C1CP，E是BB1的中点，

∴，

∴PQ∥EB∥C1C，

∵CC1⊄平面A1PQ，PQ⊂平面A1PQ，

∴CC1∥平面A1PQ；

（2）解：由（1）知，PQ∥C1C，

∴PQ∥AA1，

∴BC⊥平面A1PQA，

∴BC⊥AQ．

∵∠BAC=90°，CQ=2QB，

∴AC=2，AQ-．

延长QP与C1B相交于点H，连接A1H，A1Q，则

∵CC1⊥AQ，∴AQ⊥平面BCC1B1，

∵PQ∥AA1，HQ∥AA1，

∴四边形A1AHQ是平行四边形，

∴A1H∥AQ，

∴A1H⊥平面BCC1B1，

∴直线A1Q与平面BCC1B1所成角为∠A1QH，

∴cos∠A1QH===．

解：（1）连接BC1则由于在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中AC∥A1C1故异面直线A1B与AC所成角即为直线A1B与A1C1所成的角

∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，AA1=4

∴BC1=，A1B=，

∴cos∠BA1C1==

∴异面直线A1B与AC所成角即为arccos

（2）∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中MC⊥面ABCD

∴∠MBC=

∵BC=2

∴MC=2

∵

∴=×2×2×4-×=

即多面体ABM-A1B1C1的体积为

解：（Ⅰ）连接BG，则BG是BE在面ABD的射影，

即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角．

设F为AB中点，连接EF、FC，

∵D，E分别是CC1，A1B的中点，

又DC⊥平面ABC，

∴CDEF为矩形，连接DE，

G是△ADB的重心，

∴G∈DF，在直角三角形EFD中，

EF2=FG•FD=FD2，

∵EF=1，∴FD=．

于是ED=，EG=

∵FC=，CD=1

∴AB=2，A1B=2，EB=，

∴A1B与平面ABD所成的角是arcsin；

（Ⅱ）连接A1D，有

∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB=F，

∴ED⊥平面A1AB，设A1到平面AED的距离为h，

则，

，

．

∴，

即A1到平面AED的距离为．