用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题_章节学习

1

题型：填空题

|

填空题

在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是______．

正确答案

60°

解析

解：由题意可得，三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，

取BC的中点E，则AE⊥∠面BB1C1C，ED就是AD在平面BB1C1C内的射影，故∠ADE就是AD与平面BB1C1C所成角，

设三棱柱的棱长为1，直角三角形ADE中，tan∠ADE===，

∴∠ADE=60°，

故答案为 60°．

1

题型：简答题

|

简答题

已知如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，、F分别为线段AB、CD的动点，且EF∥BC，G是BC的中点，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图2）．

（1）当AE为何值时，BD⊥EG；

（2）在（1）的条件下，求BD与平面ABF所成角的大小．

正确答案

解：（1）沿EF将梯形ABCD翻折后，以EF所在直线为x轴，以EB所在直线为y轴，以EA所在的直线为z轴，建立空间坐标系，设EA=t，t∈（0，2）．

则A（0，0，t ），B（2-t，0，0 ），D（0，1，t），G（2-t，1，0）．

∴=（t-2，1，t），=（2-t，1，0）．

∵BD⊥EG，

∴=0，即-（t-2）2+1=0，解得 t=1 或t=3（舍去）．

故EA=1．

（2）在（1）的条件下，A（0，0，1 ），B（ 1，0，0 ），F（0，，0 ），D（0，1，1 ），

=（-1，1，1），=（-1，0 1），=（-1，，0 ）．

设平面ABF的法向量为=（a，b，1），由=0，=0，

解得 a=1，b=，故 =（1，，1）．

设BD与平面ABF所成角为θ，则 sinθ=cos＜，＞===，

∴θ=arcsin ．

解析

解：（1）沿EF将梯形ABCD翻折后，以EF所在直线为x轴，以EB所在直线为y轴，以EA所在的直线为z轴，建立空间坐标系，设EA=t，t∈（0，2）．

则A（0，0，t ），B（2-t，0，0 ），D（0，1，t），G（2-t，1，0）．

∴=（t-2，1，t），=（2-t，1，0）．

∵BD⊥EG，

∴=0，即-（t-2）2+1=0，解得 t=1 或t=3（舍去）．

故EA=1．

（2）在（1）的条件下，A（0，0，1 ），B（ 1，0，0 ），F（0，，0 ），D（0，1，1 ），

=（-1，1，1），=（-1，0 1），=（-1，，0 ）．

设平面ABF的法向量为=（a，b，1），由=0，=0，

解得 a=1，b=，故 =（1，，1）．

设BD与平面ABF所成角为θ，则 sinθ=cos＜，＞===，

∴θ=arcsin ．

1

题型：简答题

|

简答题

如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，，O、M分别为CE、AB的中点，求直线CD和平面ODM所成角的正弦值．

正确答案

解：∵DB⊥BA，又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB，DB⊂面ABDE，

∴DB⊥面ABC，∵BD∥AE，∴EA⊥面ABC，

如图所示，以C为原点，分别以CA，CB为x，y轴，

以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

∵AC=BC=4，

∴设各点坐标为C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2），E（4，0，4），

则O（2，0，2），M（2，2，0），，，，

设平面ODM的法向量n=（x，y，z），则由

且可得

令x=2，则y=1，z=1，∴n=（2，1，1），

设直线CD和平面ODM所成角为θ，则，

∴直线CD和平面ODM所成角的正弦值为．

解析

解：∵DB⊥BA，又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB，DB⊂面ABDE，

∴DB⊥面ABC，∵BD∥AE，∴EA⊥面ABC，

如图所示，以C为原点，分别以CA，CB为x，y轴，

以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

∵AC=BC=4，

∴设各点坐标为C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2），E（4，0，4），

则O（2，0，2），M（2，2，0），，，，

设平面ODM的法向量n=（x，y，z），则由

且可得

令x=2，则y=1，z=1，∴n=（2，1，1），

设直线CD和平面ODM所成角为θ，则，

∴直线CD和平面ODM所成角的正弦值为．

1

题型：简答题

|

简答题

如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面ADD1A1⊥底面ABCD，D1A=D1D=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．

（Ⅰ）求证：A1O∥平面AB1C；

（Ⅱ）求直线CC1与平面AC1D1所成角的正弦值．

正确答案

（Ⅰ）证明：如图，连接CO，AC，则四边形ABCO为正方形，

所以OC=AB=A1B1，且OC∥AB∥A1B1，

故四边形A1B1CO为平行四边形，所以A1O∥B1C，

又A1O⊄平面AB1C，B1C⊂平面AB1C，所以A1O∥平面AB1C．…（5分）

（Ⅱ）解：因为D1A=D1D，O为AD的中点，所以D1O⊥AD，

又侧面ADD1A1⊥底面ABCD，交线为AD，

故D1O⊥底面ABCD．…（6分）

以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz如图所示，则D1（0，0，1），A（0，-1，0），D（0，1，0），C（1，0，0），A1（0，-2，1），B（1，-1，0），，，，…（7分）

设平面AC1D1的法向量为，则，即，

解得，令y=1，得，…（10分）

设直线CC1与平面AC1D1所成角为θ，则

…（13分）

所以直线CC1与平面AC1D1所成角的正弦值为．…（14分）

解析

（Ⅰ）证明：如图，连接CO，AC，则四边形ABCO为正方形，

所以OC=AB=A1B1，且OC∥AB∥A1B1，

故四边形A1B1CO为平行四边形，所以A1O∥B1C，

又A1O⊄平面AB1C，B1C⊂平面AB1C，所以A1O∥平面AB1C．…（5分）

（Ⅱ）解：因为D1A=D1D，O为AD的中点，所以D1O⊥AD，

又侧面ADD1A1⊥底面ABCD，交线为AD，

故D1O⊥底面ABCD．…（6分）

以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz如图所示，则D1（0，0，1），A（0，-1，0），D（0，1，0），C（1，0，0），A1（0，-2，1），B（1，-1，0），，，，…（7分）

设平面AC1D1的法向量为，则，即，

解得，令y=1，得，…（10分）

设直线CC1与平面AC1D1所成角为θ，则

…（13分）

所以直线CC1与平面AC1D1所成角的正弦值为．…（14分）

1

题型：填空题

|

填空题

在四面体ABCD中，△ABD是正三角形，AB⊥BC，AD⊥DC，AC=2AB，则直线DC与平面ABD所成角的余弦值为______．

正确答案

解析

解：如图所示，

四面体ABCD中，∵△ABD是正三角形，AB⊥BC，AD⊥DC，且AC=2AB；

设AB=a，则AC=2a，∴BC=DC=a；

取BD的中点E，连接CE、AE，

则CE⊥BD，AE⊥BD；

又CE∩AE=E，

∴BD⊥平面ACE，

又BD⊂平面ABD，

∴平面ABD⊥平面ACE，

过点C作CF⊥AE于F，

则CF⊥平面ABD；

连接DF，则∠CDF就是直线CD与平面ABD所成的角；

∵AB=a，BC=DC=a，

∴AE=a，CE==a；

∴cos∠AEC===-，

∴CF=EC•sin∠AEC=a•=a，

∴sin∠CDF===，

∴cos∠CDF==；

即直线DC与平面ABD所成角的余弦值为．

故答案为：．

热门试卷

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析