热门试卷

证明：（Ⅰ）取AC中点D，连接DS、DB．

∵SA=SC，BA=BC，

∴AC⊥SD且AC⊥DB，

∴AC⊥平面SDB，又SB⊂平面SDB，

∴AC⊥SB．

（Ⅱ）解：∵SD⊥AC，平面SAC⊥平面ABC，

∴SD⊥平面ABC．

过D作DE⊥CM于E，连接SE，则SE⊥CM，

∴∠SED为二面角S-CM-A的平面角．

由已知有，所以DE=1，又SA=SC=2，AC=4，∴SD=2．

在Rt△SDE中，tan∠SED==2，

∴二面角S-CM-A的大小为arctan2，

∴二面角S-CM-B的大小为π-arctan2．

（Ⅲ）解：在Rt△SDE中，SE=，CM是边长为4正△ABC的中线，．

∴S△SCM=CM•SE=，

设点B到平面SCM的距离为h，

由VB-SCM=VS-CMB，SD⊥平面ABC，得S△SCM•h=S△CMB•SD，

∴h=．即点B到平面SCM的距离为．

解：由题意，AE⊥平面BEDC，

连接EC，交BD于F．

若AC⊥DB，则EC⊥DB．

设BE=x，则==，

∴ED=（3-x），FC=EC，

∴42=FC•EC=EC2，

∴16（6-x）=3（x2+16），

∴3x2+16x-48=0，

∴x=．

（Ⅰ）证明：因为E，O分别为PA，AC的中点，

所以EO∥PC

又EO⊂平面BDE，PC⊄平面BDE．

所以PC∥平面BDE．

（Ⅱ）证明：连接OP，

因为PB=PD，

所以OP⊥BD．

在菱形ABCD中，BD⊥AC，

又因为OP∩AC=O，所以BD⊥平面PAC．

又PH⊂平面PAC，所以BD⊥PH．

在直角三角形POB中，OB=1，PB=2，所以．

又，H为OC的中点，所以PH⊥OC．

又因为BD∩OC=O

所以PH⊥平面ABCD．

（Ⅲ）解：过点O作OZ∥PH，所以OZ⊥平面ABCD．

如图，以O为原点，OA，OB，OZ所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．

可得，，B（0，1，0），，

，．

所以，，．

设=（x，y，z）是平面PAB的一个法向量，

则，即，

令x=1，则．．

设直线CE与平面PAB所成的角为θ，

．

所以直线CE与平面PAB所成角的正弦值为．