用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

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题型：填空题

填空题

下列命题中

①若|•|=||•||，则∥；

②=（-1，1）在=（3，4）方向上的投影为；

③若△ABC中，a=5，b=8，c=7，则=20；

④若非零向量、满足|+|=，则|2|＞|+2|．

其中真命题是______．

正确答案

①②

解析

解：对于选项A，根据，则cosθ=±1，θ=0°或180°，则∥，故正确；

对于选项B，根据投影的定义可得，在方向上的投影为||cos＜，＞==，故正确；

对于选项C，由余弦定理可知cosC=，=5×8×cos（π-C）=-20，故不正确；

对于选项D，|+|=，不正确；

故答案为：①②

题型：单选题

单选题

△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且，则向量在方向上的投影为（　　）

正确答案

解析

解：由题意因为△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，

2且，

对于 ⇔，

所以可以得到图形为：因为，所以四边形ABOC为平行四边形，又由于，所以三角形OAB为正三角形且边长为1，所以四边形ABOC为边长为1且角ABO为60°的菱形，所以向量在方向上的投影为：=

故选B．

题型：简答题

简答题

一个多面体的三视图及直观图如图所示：

（Ⅰ）求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值：

（Ⅱ）试在平面ADD1A1中确定一个点F，使得FB1⊥平面BCC1B1；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-CC1-B的余弦值．

正确答案

解；依题意知，该多面体为底面是正方形的四棱台，且D1D⊥底面ABCD，AB=2A1B1=2DD1=2a…（2分）

以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线为x，y，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2a，0，0），B1（a，a，a），D1（0，0，a），B（2a，2a，0），C（0，2a，0），C1（0，a，a）…（4分）

（Ⅰ）∵=（-a，a，a），=（0，0，a）

∴cos＜＞==

即直线AB1与DD1所成角的余弦值为…（6分）

（II）设F（x，0，z），∵=（-a，a，a），=（-2a，0，0），=（a-x，a，a-z）

由FB1⊥平面BCC1B1得

即得

∴F（a，0，0）即F为DA的中点…（9分）

（III）由（II）知为平面BCC1B1的法向量．

设=（x1，y1，z，）为平面FCC1的法向量．

∵=（0，-a，a），=）-a，2a，0）

∴

令y1=1得x1=2，z1=1

∴=（2，1，1）

∴cos＜＞==

即二面角F-CC1-B的余弦值为…（12分）

解析

解；依题意知，该多面体为底面是正方形的四棱台，且D1D⊥底面ABCD，AB=2A1B1=2DD1=2a…（2分）

以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线为x，y，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2a，0，0），B1（a，a，a），D1（0，0，a），B（2a，2a，0），C（0，2a，0），C1（0，a，a）…（4分）

（Ⅰ）∵=（-a，a，a），=（0，0，a）

∴cos＜＞==

即直线AB1与DD1所成角的余弦值为…（6分）

（II）设F（x，0，z），∵=（-a，a，a），=（-2a，0，0），=（a-x，a，a-z）

由FB1⊥平面BCC1B1得

即得

∴F（a，0，0）即F为DA的中点…（9分）

（III）由（II）知为平面BCC1B1的法向量．

设=（x1，y1，z，）为平面FCC1的法向量．

∵=（0，-a，a），=）-a，2a，0）

∴

令y1=1得x1=2，z1=1

∴=（2，1，1）

∴cos＜＞==

即二面角F-CC1-B的余弦值为…（12分）

题型：填空题

填空题

（2015•金凤区校级一模）已知=（2，1），=（3，4），则在方向上的投影为______．

正确答案

解析

解：∵=（2，1），=（3，4），∴•=2×3+1×4=10，||==5

∴向量在向量方向上的投影为||cos＜＞===2．

故答案为2

题型：简答题

简答题

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥面ABCD，PA=AD=4，AB=2，点M是PD中点．

（1）求证：PB∥平面ACM；

（2）求直线CD与平面ACM所成角的正弦值．

正确答案

解：（1）连结BD交AC于O点，则O为BD中点．

∵点M是PD中点，∴OM∥PB．

再根据OM⊂平面ACM，PB⊄平面ACM，

∴PB∥平面ACM．

（2）建立如图所示直角坐标系，则A（0，0，0），

P（0，0，4），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）．∴，

设平面ACM的一个法向量，

则，令z=1，则．

设所求角为α，则，

即直线CD与平面ACM所成角的正弦值为．

解析

解：（1）连结BD交AC于O点，则O为BD中点．

∵点M是PD中点，∴OM∥PB．

再根据OM⊂平面ACM，PB⊄平面ACM，

∴PB∥平面ACM．

（2）建立如图所示直角坐标系，则A（0，0，0），

P（0，0，4），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）．∴，

设平面ACM的一个法向量，

则，令z=1，则．

设所求角为α，则，

即直线CD与平面ACM所成角的正弦值为．

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