热门试卷

解法一   向量法

由 AD⊥面DEFG和直角梯形EFGD可知，AD、DE、DG两两垂直，建立如图的坐标系，则A（0，0，2），B（2，0，2），C（0，1，2），E（2，0，0），G（0，2，0），F（2，1，0）

（1）

∴，即四边形BCGF是平行四边形．

故四点B、C、F、G共面．…（4分）

（2），

设平面BCGF的法向量为，

则，

令y=2，则，

而平面ADGC的法向量

∴=

故面ADGC与面BCGF所组成的二面角余弦值为．…（8分）

（3）设DG的中点为M，连接AM、FM，则V多面体ABC-DEFG=V三棱柱ADM-BEF+V三棱柱ABC-MFG

=DE×S△ADM+AD×S△MFG==4．…（12分）

解法二    （1）设DG的中点为M，连接AM、FM，则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，所以MF∥DE，且MF=DE

又∵AB∥DE，且AB=DE∴MF∥AB，且MF=AB

∴四边形ABMF是平行四边形，即BF∥AM，且BF=AM

又∵M为DG的中点，DG=2，AC=1，面ABC∥面DEFG

∴AC∥MG，且AC=MG，即四边形ACGM是平行四边形

∴GC∥AM，且GC=AM

故GC∥BF，且GC=BF，

即四点B、C、F、G共面…（4分）

（2）∵四边形EFGD是直角梯形，AD⊥面DEFG

∴DE⊥DG，DE⊥AD，即DE⊥面ADGC，

∵MF∥DE，且MF=DE，∴MF⊥面ADGC

在平面ADGC中，过M作MN⊥GC，垂足为N，连接NF，则

显然∠MNF是所求二面角的平面角．

∵在四边形ADGC中，AD⊥AC，AD⊥DG，AC=DM=MG=1

∴，∴cos∠DGC===

∴，∴MN=MG•sin∠DGC=

在直角三角形MNF中，MF=2，MN=

∴tan∠MNF===，cos∠MNF=

故面ADGC与面BCGF所组成的二面角余弦值为…（8分）

（3）V多面体ABC-DEFG=V三棱柱ADM-BEF+V三棱柱ABC-MFG=DE×S△ADM+AD×S△MFG

==4．…（12分）

解法一：（1）易知S-ABD是正四面体，作SO⊥平面ABCD于O，则O是正三角形ABD的垂心

∵AB⊥OD

∴AB⊥SD（三垂线定理）

（2）∵AC=6∴CD=SD=，设B到平面SCD的距离为d，

于是

又AB∥平面SCD

∴异面直线AB与SC之间的距离即为点B到平面SCD的距离d，

所以两异面直线之间的距离为．

解法二：作SO⊥平面ABCD于O，取BA的三等分点E，则OE，OC，OS两两互相垂直建立坐标系（如图）

A（-2，0，0，）  B（1，，0）D（1，-，0）

S（0，0，）

（1）∵

∴AB⊥SD

（2）又C（4，0，0），可得，设是两异面直线公垂线的方向向量，

于是有代入向量坐标，令x=1，得

∴，又

∴两异面直线之间的距离

解：（Ⅰ）如图所示：

C（2，0，0），S（0，0，1），O（0，0，0），B（1，1，0）

∴

∴（4分）

（Ⅱ）①∴，∴

，∴（7分）

②过O作OE⊥BC于E，则BC⊥面SOE，∴SOE⊥SAB又两面交于SE，过O作OH⊥SE于H，则OH⊥SBC，延长OA与CB交于F，则OF=2

连FH，则∠OFH为所求

，∴∴，

∴

∴

③由题设条件可得∠OBC是直角，可得出CB⊥面SOB，故CB⊥SB

又在直角三角形SOB内，可求得SB=，在梯形OABC内，可求得BC=，于是可得

又由题设条件得=

故由等体积法可得点O到面SBC的距离为=，

（III）（1，-1，2）；（14分）．