热门试卷

证明：（1）∵A1B⊥面ABC，∴A1B⊥AC，------（1分）

又AB⊥AC，AB∩A1B=B

∴AC⊥面AB1B，------（3分）

∵AC⊂面A1AC，

∴平面A1AC⊥平面AB1B；------（4分）

（2）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），B1（0，4，2），

所以 ，．

所以 ，

故AA1与棱BC所成的角是 ．          …（8分）

（3）因为P为棱B1C1的中点，所以P的坐标为（1，3，2）．                     …（10分）

设平面PAB的法向量为 =（x，y，z），则

令z=1故                                …（12分）

而平面ABA1的法向量 =（1，0，0），则 =

故二面角P-AB-A1的平面角的余弦值是 ．               …（14分）

解：（Ⅰ）①由已知得，∠B=∠C=30°，．

在△ABD中，由BD=1，得AD==1，（3分）

在△ACD中，∵AC2+AD2=4=CD2，∴AC⊥AD．

平面ADC⊥平面ABD，∴AC⊥平面ABD．（5分）

②∵AC⊥平面ABD，∴VC-ABD==．（8分）

（Ⅱ）由BD=1，得CD=2，

在平面内作等腰△ABC底边上的高线AE，点E为垂足，则AE=．

在三棱锥C-ABD中，连接CE，作AH⊥CE于点H，

∵BD⊥AC，BD⊥AE，∴BD⊥平面ACE，

∵AH⊂平面ACE，∴BD⊥AH，∴AH⊥平面BCD，

∴∠ACH是直线AC与平面BCD所成的角．（11分）

在Rt△ACE中，得，=，

∴，即直线AC与平面BCE所成的角的正弦值为．（14分）

（Ⅰ）证明：取AB中点O，连结OD，OE，…（1分）

因为△ABE是正三角形，所以AB⊥OE．

因为 四边形ABCD是直角梯形，，AB∥CD，所以 四边形OBCD是平行四边形，OD∥BC，

又AB⊥BC，所以 AB⊥OD．

所以 AB⊥平面ODE，…（3分）

所以 AB⊥DE．…（4分）

（Ⅱ）解：因为平面ABCD⊥平面ABE，AB⊥OE，

所以OE⊥平面ABCD，

所以 OE⊥OD．…（5分）

如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系．

则 A（1，0，0），B（-1，0，0），

D（0，0，1），C（-1，0，1），．

所以 ，，…（6分）

设平面ADE的法向量为n1=（x1，y1，z1），

则，…（7分）

令z1=1，则x1=1，．所以n1=．…（8分）

同理求得平面BCE的法向量为n2=，…（9分）

设平面ADE与平面BCE所成的锐二面角为θ，则cosθ==．

所以平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为．…（10分）

（Ⅲ）解：设Q（x2，y2，0），因为，

所以，，．

依题意，即…（11分）

解得 ，．…（12分）

符合点Q在三角形ABE内的条件．…（13分）

所以，存在点，使PQ⊥平面CDE，此时．…（14分）