热门试卷

（I）证明：取DA中点N，连接GN，CN

在△EAB中，G、N分别为EA，AD的中点，

∴GN∥EB，且GN=EB．

由已知CF∥DE，CF=2，DE=4，

∴CF∥EB，且CF=EB．

∴CF∥GN且CF=GN，

∴四边形GFCN为平行四边形，

∴FG∥CN，

∵CN⊂平面ABCD，且FG⊄平面ABCD，

∴FG∥平面ABCD；

（II）证明：在正方形ADEF中，AD⊥CD，

又∵平面CDEF⊥平面ABCD，且平面CDEF∩平面ABCD=CD，

∴AD⊥平面CDEF，

∴AD⊥EF．

在直角梯形CDEF中，CD=CF=2，DE=4，可得DF=2

在△DEF中，EF=DF=2，DE=4，

∴EF⊥DF．

∵AD∩DF=D

∴EF⊥平面ADF，

∵EF⊂平面AEF，

∴平面FAD⊥平面FAE；

（Ⅲ）解：以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．

则平面ABCD的一个法向量为=（0，0，4）．

设平面FAE的一个法向量为=（x，y，z），则

∵=（0，2，2），=（2，0，0），

∴，

∴可取=（0，1，-1）．

设平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为θ，

则cosθ=||=，

∴平面FAE与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为．

解：（Ⅰ）如图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴

建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），

C（0，2，0），D1（0，0，5），E（0，0，1），F（2，2，4）

∴=（-2，2，0），=（0，2，4），

=（-2，-2，1），=（-2，0，1）．   

∴

∴BE⊥AC，BE⊥AF，且AC∩AF=A

∴BE⊥平面ACF

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，为平面ACF的一个法向量    

∴向量在上的射影长即为E到平面ACF的距离，设为d

于是 d==

故点E到平面ACF的距离

解：（1）建立如图所示的直角坐标系，

则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）．

在Rt△BAD中，AD=2，BD=，

∴AB=2．∴B（2，0，0）、C（2，2，0），

∴

∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，

又因为AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．

解：（2）由（1）得．

设平面PCD的法向量为，

则，

即，

∴，故平面PCD的法向量可取为

∵PA⊥平面ABCD，

∴为平面ABCD的法向量．

设二面角P-CD-B的大小为θ，依题意可得．

（3）由（Ⅰ）得，

设平面PBD的法向量为，

则，即，

∴x=y=z，故可取为．

∵，

∴C到面PBD的距离为