热门试卷

解：（1）如图建立空间直角坐标系C-xyz，

则C（0，0，0），D（1，0，0），B（0，1，0），A1（1，1，1）．

∴，．

∴．

∴A1C与DB所成角的大小为90°．

（2）设平面A1BD的法向量=（x，y，z），

则，，

可得，∴=（1，1，-1）．

同理可求得平面A1BC的一个法向量=（1，0，-1），

∴cos＜，＞=，

∴二面角D-A1B-C的余弦值为．

（3）设=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，且，

∴cos＜，=，

∴＜，=60°，

∴EC与平面ABCD所成的角是30°．

解：（1）以A为原点，AB，AC，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有，

∴

∴异面直线BE与PC所成角的余弦值为；

（2）设平面BPE的法向量，则有

∴

∵平面ABE的一个法向量为

∴

∵二面角P-BE-C的平面角为钝二面角；

∴二面角P-BE-C的平面角的余弦值为

解：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为．

（Ⅰ）证明：因，，

所以，所以AP⊥DC．

由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，

由此得DC⊥面PAD．

又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD．

（Ⅱ）解：因，

故，，，

所以cos==．

（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使，

=（1-x，1-y，y-z），=（1，0，-），

∴x=1-λ，y=1，z=，

要使AN⊥MC，只需，即x-z=0，解得．

可知当时，N点的坐标（），能使，

此时，有．

由，得AN⊥MC，BN⊥MC，

所以∠ANM为所求二面角的平面角．

∵，，

∴cos==

所以所求面AMC与面BMC夹角的余弦值为．

（1）证明：设BD∩CE=Q，连接PQ．

在△ABD中，BQ=QD，BP=PA，∴AD∥PQ．

又∵PQ⊂平面PCE，AD⊄平面PCE，

∴AD∥平面PCE；

（2）解：由题意CA，CB，CD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，

则C（0，0，0），A（1，0，0），E，P．

∴，，．

设平面CAE的法向量为=（x，y，z）．

则，令z=，则y=-1，x=0．∴．

设平面PCE的法向量为，同理由，解得．

又===．由图可知：二面角A-CE-P的平面角是锐角，

∴其余弦值=．