热门试卷

解法一：

（Ⅰ）解：当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行

∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点…（1分）

∴EF∥PC

又EF⊄平面PAC，PC⊂平面PAC…（2分）

∴EF∥平面PAC…（3分）

（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD

∴BE⊥PA

∵ABCD是矩形

∴BE⊥AB…（4分）

又AB∩AP=A，AP、AB⊂平面ABCD

∴BE⊥平面ABCD

又AF⊂平面PAB

∴AF⊥BE       …（5分）

又PA=AB=1，且点F是PB的中点

∴PB⊥AF

又∵PB∩BE=B，PB、BE⊂平面PBE

∴AF⊥平面PBE          …（6分）

∵PE⊂平面PBE

∴AF⊥PE

故无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF …（7分）

（Ⅲ）解：当时，二面角P-DE-A的大小为45°…（8分）

过A作AG⊥DE于G，连接PG

又∵DE⊥PA

∴DE⊥平面PAG∴DE⊥PG

则∠PGA是二面角P-DE-A的平面角∴∠PGA=45° …（10分）

∵PA⊥平面ABCD

∴∠PDA就是PD与平面ABCD所成的角，即∠PDA=30°…（11分）

又PA=AB=1，∴∴AG=1，…（12分）

设BE=x，则GE=x，CE=

在Rt△DCE中，

解得：或（舍去）         …（13分）

故当时，二面角P-DE-A的大小为45°…（14分）

（1）证明：∵折后A，B，C，D重合于一点O，

∴拼接成底面EFGH的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，

∴底面EFGH是正方形，故EG⊥FH，

∵在原平面EFGH是正方形，故EG⊥FH，

∵在原平面图形中，等腰三角形△SEE′≌△SGG′，

∴SE=SG，∴EG⊥SO，

又∵SO、FH⊂平面SFH，SO∩FH=O，

∴EC⊥平面SFH，

又∵EG⊂平面SEC，∴平面SEG⊥平面SFH．…（6分）

（Ⅱ）解：过O作OM⊥SH交SH于M点，连EM，

∵EO⊥平面SFH，

∴EO⊥SH，

∴SH⊥面EMO，

∴∠EMO为二面角E-SH-F的平面角．…（8分）

当AE=时，即OE=

Rt△SHO中，SO=5，SH=，∴OM==，

Rt△EMO中，EM==，

∴cos∠EMO==，

∴所求二面角的余弦值为．                               …（12分）

解：设此棱柱的高AA1=2，则AB=2k，如图建立空间直角坐标系：

则P（0，0，2），O（0，0，0），B（k，k，0），C（-k，k，0），A1（k，-k，2），A（k，-k，0），

E（k，0，0）

∴=（-2k，0，0），=（k，k，-2），=（0，k，-2），=（k，-k，-2）

（1）取BC中点F（0，k，0）

则=（0，k，-2）

∴

∴A1E∥PF，PF⊂面PBC，A1E⊄面PBC

∴A1E∥平面PBC

（2）当时，∴=（-2，0，0），=（，，-2），

=（，-，-2）

设平面PBC的法向量为=（x，y，z）

则

∴取=（0，，1）

∴cos＜，＞===-=-

设直线PA与平面PBC所成角为θ，则sinθ=

∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为

（3）设△PBC的重心坐标为M（x，y，z），则

x==0，y==，z==

∴M（0，，）

∴=（0，，）

且=0，即OM⊥BC

若OM⊥平面PBC，

则=×k+=0

解得k=

∴k=时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心

（1）证明：∵D、E分别是AC、BC的中点，

∴DE∥AB，

∵AB⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，

∴AB∥平面DEF，

同理SA∥平面DEF，

∵AB∩SA=A，

∴平面SAB∥平面DEF，

；

（2）解：∵SG=，S在面ABC内的射影O在CG上，且GO=

∴∠SGO 就是SG与平面ABC所成角，

∴cos∠SGO=．