热门试卷

（1）证明：取AE的中点M，连接MB1，MD，则AE⊥MB1，AE⊥MD，所以AE⊥面MDB1，则AE⊥B1D--------------------（4分）

（2）解：分别以ME，MD，MB1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，

设面ACF的法向量为，

由有令x=1-------（7分）

设B1AC的法向量，有令x2=1，，--------------------------------（9分）

所以，

二面角F-AC-B1为锐角，故二面角F-AC-B1的余弦值为．-------------（12分）

（1）证明：连接OD，OE．

因为在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，，CO=BO=3．

在△COD中，，同理得．

因为，．

所以A′O2+OD2=A′D2，A′O2+OE2=A′E2．

所以∠A′OD=∠A′OE=90°

所以A′O⊥OD，A′O⊥OE，OD∩OE=O．

所以A′O⊥平面BCDE．

（2）方法一：

过点O作OF⊥CD的延长线于F，连接A′F

因为A′O⊥平面BCDE．

根据三垂线定理，有A′F⊥CD．

所以∠A′FO为二面角A′-CD-B的平面角．

在Rt△COF中，．

在Rt△A′OF中，=．

所以．

所以二面角A′-CD-B的平面角的余弦值为．

方法二：

取DE中点H，则OH⊥OB．

以O为坐标原点，OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．

则O（0，0，0），A′（0，0，），C（0，-3，0），D（1，-2，0）=（0，0，）是平面BCDE的一个法向量．

设平面A′CD的法向量为n=（x，y，z），．

所以，令x=1，则y=-1，．

所以是平面A′CD的一个法向量

设二面角A′-CD-B的平面角为θ，且

所以

所以二面角A′-CD-B的平面角的余弦值为

（1）证明：∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD

∵SD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD

∴SD⊥BC

∵SD∩CD=D

∴BC⊥面SDC

∵SC⊂面SDC

∴BC⊥SC；

（2）解：取AB中点N，连接MN，DN，则

∵正方形ABCD的边长为1，SD⊥底面ABCD，．

∴SD=1

∴DM=，DN=

∵棱SA的中点为M，AB中点N，

∴MN=，MN∥SB

∴∠NMD（或其补角）为异面直线DM与SB所成角

∵DM=，DN=，MN=

∴∠NMD=90°

∴异面直线DM与SB所成角为90°

（3）连接BD，∵SD⊥底面ABCD，AD，BD⊂底面ABCD

∴SD⊥AD，SD⊥BD

∴∠ADB为二面角A-SD-B的平面角

∵ABCD是正方形

∴∠ADB=45°

∴二面角A-SD-B的平面角为45°

（Ⅰ）证明：由题设可知AD⊥DE，取AE中点O，

连接OD、BE，∵AD=DE=，∴OD⊥AE，

又∵二面角D-AE-B为直二面角，

∴OD⊥平面ABCE，

∴OD⊥BE，AE=BE=2，AB=2，

∴AB2=AE2+BE2，AE⊥BE，OD∩AE=O，

∴BE⊥平面ADE，

∴BE⊥AD，BE∩DE=E，

∴AD⊥平面BDE．…（6分）

（Ⅱ）解：取AB中点F，连接OF，则OF∥EB，

∴OF⊥平面ADE，

以O为原点，OA，OF，OD为x、y、z轴建立直角坐标系（如图），

则A（1，0，0），D（0，0，1），B（-1，2，0），

，，

设是平面ABD的一个法向量，

则，，

∴，取x=1，则y=1，z=1，

则，平面ADE的法向量，

设二面角B-AD-E的平面角为θ，

∴cosθ===．…（13分）