热门试卷

解：（1）依题意得BB1⊥AB，BB1⊥BC，而AB，BC均在α内且相交，∴BB1⊥平面α．

以B为坐标原点，分别以BC，BB1为y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则B（0，0，0），

令正方形边长为2，又∠ABC=60°，故得

，B1（0，0，2），M（0，1，0），N（0，2，λ）（0≤λ≤2）．

则．

由AB1⊥MN，得

∴，

即点N的位置在线段C1C的四等分点靠近C处．

（2）由（1）得，，，

设分别为平面MAB1，AB1N的一个法向量．

由，即，

取z1=1，得x1=0，y1=2，所以．

由，即，

取，得，所以．

则．

所以二面角M-AB1-N的余弦值为．

解：（Ⅰ）证明：如图，

取CD中点M，连接MB，

∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAD，

∴平面ABCD⊥平面PAD，

又平面ABCD∩平面PAD=AD，且AD⊥DC，

∴DC⊥平面PAD，

∴DC⊥PD，

∵E，M分别为PC，DC的中点，

∴EM∥BD，

∴CD⊥EM．

∵AB∥CD，DC=2AB，M为CD中点，

∴四边形ABMD为平行四边形，

又AD⊥CD，

∴四边形ABMD为矩形，

则CD⊥BM．

又EM∩BM=M，

∴CD⊥平面EBM，

∴BE⊥DC；

（Ⅱ）解：以A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则A（0，0，0），B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．

，，

设，=（1-2λ，2-2λ，2λ），

由，得，

则．

设为平面FAB的一个法向量，

由，得，取z=1，得y=-3．

∴．

平面ABP的一个法向量为，

=．

由已知可知，二面角F-AB-P为锐角，

∴二面角F-AB-P的余弦值为．

解：设正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2，建立空间直角坐标系，A1（2，0，0），D（0，0，2），D1（0，0，0），B1（2，2，0），F（0，1，2），于是．

（1）设是平面EFD1B1  的一个法向量，

∵，

∴，

解得．取v=-2，

∴．

由 知直线A1D 的一个方向向量为 ．

设直线A1D 与平面EFD1B1 所成角为θ， 与 所成角为ϕ，则，

因，即直线A1D 与平面EFD1B1 所成角为．

（2）因为平面BB1E 垂直于y 轴，所以平面BB1E 的一个法向量为，

设 与 的夹角为ϕ，则，

结合图可判断所求二面角B-B1E-F 是钝角，大小为．

解：（Ⅰ）∵侧棱PA、PB、PC与底面ABC所成的角相等，

∴点P在平面ABC内的射影是Rt△ABC的外心，即斜边BC的中点O

取AC的中点D，连PD，DO，PO，则，

∴OP=6．∵OP⊥平面ABC，

∴OD是PD在平面ABC内的射影，

∵AC⊥OD，∴AC⊥PD．∴∠PDO为二面角P-AC-B的平面角． 

在Rt△POD中，，

∴，

故二面角P-AC-B的大小为． 

（Ⅱ）∵AC=4，，

∴．

设点B到平面PAC的距离为h，则由VP-ABC=

解方程得h=6，∴点B到平面PAC的距离等于6．