用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

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题型：填空题

填空题

在△ABC中，AB=1，BC=2，CA=，I是△ABC的内心，则向量在向量上的投影为______．

正确答案

解析

解：如图所示，

设△ABC的内切圆的半径为r，

则=，

解得r=．

∴，．

∴向量在向量上的投影===，

故答案为：．

题型：简答题

简答题

在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，AB=2，∠DAB=60°，平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD为正三角形，E为AD中点，M为线段PC上的一点．

（1）若M为PC中点，求证：ME∥平面PAB；

（2）若二面角M-EB-C的平面角为60°，求直线AB与平面MEB所成角的余弦值．

正确答案

解：（1）取BC的中点M，连接MN，NE，

∵MN∥PB，MN⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，

∴MN∥平面PAB

∵EN∥AB，EN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，

∴NE∥平面PAB，又MN∩NE=N

∴平面MNE∥平面PAB，ME⊂平面MNE

∴MN∥平面PAB

（2）连接PE，∵△PAD为正三角形，∴PE⊥AD，

∵四边形ABCD为菱形，AB=2，∠DAB=60°，E为AD的中点，AE=1，∴BE⊥AD，

建立空间直角坐标系如图，得E（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），D（-1，0，0），P（0，0，），C（-2，，0），

设=λ=（-2λ，λ，-λ），∴M（-2λ，λ，-λ+），=（-2λ，λ，-λ+）

=（0，，0），设平面MEB的法向量=（a，b，c），

由=b=0⇒b=0，由=-2λa-λc+λ=0⇒a=c，

平面EBC的法向量=（0，0，1），设=（-λ，0，2λ）

∵二面角M-EB-C的平面角为60°

∴cos==，解得λ=或-1（舍去），

此时，=（），=（-1，，0），

cos==-，即线面角的正弦值为．

所以，所求角的余弦值为．

解析

解：（1）取BC的中点M，连接MN，NE，

∵MN∥PB，MN⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，

∴MN∥平面PAB

∵EN∥AB，EN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，

∴NE∥平面PAB，又MN∩NE=N

∴平面MNE∥平面PAB，ME⊂平面MNE

∴MN∥平面PAB

（2）连接PE，∵△PAD为正三角形，∴PE⊥AD，

∵四边形ABCD为菱形，AB=2，∠DAB=60°，E为AD的中点，AE=1，∴BE⊥AD，

建立空间直角坐标系如图，得E（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），D（-1，0，0），P（0，0，），C（-2，，0），

设=λ=（-2λ，λ，-λ），∴M（-2λ，λ，-λ+），=（-2λ，λ，-λ+）

=（0，，0），设平面MEB的法向量=（a，b，c），

由=b=0⇒b=0，由=-2λa-λc+λ=0⇒a=c，

平面EBC的法向量=（0，0，1），设=（-λ，0，2λ）

∵二面角M-EB-C的平面角为60°

∴cos==，解得λ=或-1（舍去），

此时，=（），=（-1，，0），

cos==-，即线面角的正弦值为．

所以，所求角的余弦值为．

题型：简答题

简答题

如图，四边形ABCD是矩形，BC⊥平面ABE，F是CE上一点，BF⊥平面ACE，点M，N分别是CE，DE的中点．

（1）求证：MN∥平面ABE；

（2）若BE=4，BC=3，AE=BE，求DE与面BCE所成角的余弦．

正确答案

（1）证明：∵点M，N分别是CE，DE的中点．

∴MN∥CD，

∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，

∴MN∥AB，

∵MN⊄平面ABE，AB⊂平面ABE，

∴MN∥平面ABE；

（2）解：∵BC⊥平面ABE，∴BC⊥AE

∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，

又BC∩BF=B，

∴AE⊥平面BCE，∴AE⊥BE，

∵AE=BE=4，∴AB=4，

在△ABE内，过E作AB的垂线EH，垂足为H，则EH=2，

∵BC⊥平面ABE，∴BC⊥EH，

∴EH⊥平面ABCD，

设D到平面BCE的距离为d，射影为K，则由体积相等，得

VD-BCE=VE-BCD，即有d•S△BCE=•EH•S△BCD，

d•12=2•12，则d=4．

∵AD∥BC，∴AD⊥平面ABE，AD⊥AE，

∴ED=5，

∵∠DEK为DE与面BCE所成角，

EK==3，

∴DE与面BCE所成角的余弦为．

解析

（1）证明：∵点M，N分别是CE，DE的中点．

∴MN∥CD，

∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，

∴MN∥AB，

∵MN⊄平面ABE，AB⊂平面ABE，

∴MN∥平面ABE；

（2）解：∵BC⊥平面ABE，∴BC⊥AE

∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，

又BC∩BF=B，

∴AE⊥平面BCE，∴AE⊥BE，

∵AE=BE=4，∴AB=4，

在△ABE内，过E作AB的垂线EH，垂足为H，则EH=2，

∵BC⊥平面ABE，∴BC⊥EH，

∴EH⊥平面ABCD，

设D到平面BCE的距离为d，射影为K，则由体积相等，得

VD-BCE=VE-BCD，即有d•S△BCE=•EH•S△BCD，

d•12=2•12，则d=4．

∵AD∥BC，∴AD⊥平面ABE，AD⊥AE，

∴ED=5，

∵∠DEK为DE与面BCE所成角，

EK==3，

∴DE与面BCE所成角的余弦为．

题型：填空题

填空题

相交成90°角的两条直线和一个平面所成的角分别为30°和45°，则这两条直线在该平面上的射影所成锐角为______．

正确答案

解析

解：设∠ACB=90°，A、B在α内且CA、CB分别与平面α成30°角和45°角，

作CC1⊥α于C1，连接AC1、BC1，则AC1、BC1就是AC、BC在平面内α的射影

∴∠CAC1=30°，∠CBC1=45°

设CC1=1，则Rt△CAC1中，CA=2，AC1=，Rt△CBC1中，CB=，BC1=1

∵∠ACB=90°，∴AB==

在△AC1B中，cos∠AC1B==-，可得∠AC1B=arccos（-）

∴AC1、BC1所成的锐角等于

故答案为：

题型：简答题

简答题

如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AA1=3，E、F分别在侧棱BB1、DD1上，且BE=1，D1F=1．

（1）求证：A、E、C1、F四点共面；

（2）求平面AEC1F与底面ABCD所成的锐二面角的大小．

正确答案

（法一）（1）证：∵ABC1D1，BED1F，且平面ABE∥平面C1D1F，

∠ABE=∠C1D1F=，

∴△ABE≌△C1D1F，…（3分）

∴，∴A、E、C1、F四点共面．…（6分）

（2）延长C1E，CB交于G，连接AG，过B作BH⊥AG于H，连接EH，

由正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，得EB⊥平面ABCD，∴EH⊥AG，

∴∠EHB是所求的二面角的平面角，…（9分）

由△GBE∽△GCC1得=，∴GB=，在Rt△ABG中，

AG=，BH==，

∴tan∠EHB==，…（11分）

所以平面AEC1F与底面ABCD所成的锐二面角的大小为arctan．…（12分）

（法二）（1）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CC1为z轴建立如图所示的空

间直角坐标系，则C1（0，0，3），F（1，0，2），A（1，，1，0），E（0，1，1），…（2分）

∴，，

∴C1F∥EA，∴A、E、C1、F四点共面．…（6分）

（2）设面EC1FA的一个法向量为=（x，y，z），∵，

由，得，

又面ABCD的一个法向量为，…（9分）

∴cos＜＞===，…（11分）

所以平面AEC1F与底面ABCD所成的锐二面角的大小为arccos．（12分）

解析

（法一）（1）证：∵ABC1D1，BED1F，且平面ABE∥平面C1D1F，

∠ABE=∠C1D1F=，

∴△ABE≌△C1D1F，…（3分）

∴，∴A、E、C1、F四点共面．…（6分）

（2）延长C1E，CB交于G，连接AG，过B作BH⊥AG于H，连接EH，

由正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，得EB⊥平面ABCD，∴EH⊥AG，

∴∠EHB是所求的二面角的平面角，…（9分）

由△GBE∽△GCC1得=，∴GB=，在Rt△ABG中，

AG=，BH==，

∴tan∠EHB==，…（11分）

所以平面AEC1F与底面ABCD所成的锐二面角的大小为arctan．…（12分）

（法二）（1）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CC1为z轴建立如图所示的空

间直角坐标系，则C1（0，0，3），F（1，0，2），A（1，，1，0），E（0，1，1），…（2分）

∴，，

∴C1F∥EA，∴A、E、C1、F四点共面．…（6分）

（2）设面EC1FA的一个法向量为=（x，y，z），∵，

由，得，

又面ABCD的一个法向量为，…（9分）

∴cos＜＞===，…（11分）

所以平面AEC1F与底面ABCD所成的锐二面角的大小为arccos．（12分）

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