- 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
- 共2973题
将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD成60°的角；
④AB与CD所成的角为60°；
其中正确结论是______（写出所有正确结论的序号）
正确答案
①②④
解析
对于命题①，由于BD⊥面AEC，故AC⊥BD，此命题正确；
对于命题②，在等腰直角三角形AEC中可以解出AC等于正方形的边长，故△ACD是等边三角形，此命题正确；
对于命题③AB与平面BCD所成的线面角的平面角是∠ABE=45°，故AB与平面BCD成60°的角不正确；
对于命题④可取AD中点F，AC的中点H，连接EF，EH，FH，由于EF，FH是中位线，可证得其长度为正方形边长的一半，而EH是直角三角形的中线，其长度是AC的一半即正方形边长的一半，故△EFH是等边三角形，由此即可证得AB与CD所成的角为60°；
综上知①②④是正确的
故答案为①②④
（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的正弦；
（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离．
正确答案
即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角，
设F为AB的中点，连结EF、FC，
∵D，E分别是CC1与A1B的中点，
又DC⊥平面ABC，
∴CDEF为矩形，连接DE，G是ADB的重心，
∴GE=DF，
在直角三角形EFD中，
∵EF=1，∴
于是
∵
∴AB=
∴
∴A1B与平面ABD所成角的正弦值为
（Ⅱ）连结A1D，有
∵ED⊥AB，ED⊥EF，
又EF∩AB=F，
∴ED⊥平面A1AB，
设A1到平面AED的距离为h，则
又
∴
解析
即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角，
设F为AB的中点，连结EF、FC，
∵D，E分别是CC1与A1B的中点，
又DC⊥平面ABC，
∴CDEF为矩形，连接DE，G是ADB的重心，
∴GE=DF，
在直角三角形EFD中，
∵EF=1，∴
于是
∵
∴AB=
∴
∴A1B与平面ABD所成角的正弦值为
（Ⅱ）连结A1D，有
∵ED⊥AB，ED⊥EF，
又EF∩AB=F，
∴ED⊥平面A1AB，
设A1到平面AED的距离为h，则
又
∴
在直二面角α-l-β中，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l斜交，则（ ）
正确答案
解析
解：如图，在l上任取一点P，过P分别在α、β内作a′∥a，b′∥b，
在a′上任取一点A，过A作AC⊥l，垂足为C，则AC⊥β，
过C作CB⊥b′交b′于B，连AB，由三垂线定理知AB⊥b′，
∴△APB为直角三角形，故∠APB为锐角．
∴a不和b垂直，a也不和b平行
故选C
（Ⅰ）试确定A1P：PB的值，使得PC⊥AB；
（Ⅱ）若A1P：PB=2：3，求二面角P-AC-B的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点C1到面PAC的距离．
正确答案
解：（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，过A点与AB垂直的直线为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示，
设P（x，0，z），则B（a，0，0）、A1（0，0，a）、
（Ⅰ）由
即
也即A1P：PB=1时，PC⊥AB．…4′
（Ⅱ）当A1P：PB=2：3时，P点的坐标是
则
∴
又平面ABC的一个法向量为
∴
（Ⅲ）设C1到面PAC的距离为d，则
解析
解：（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，过A点与AB垂直的直线为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示，
设P（x，0，z），则B（a，0，0）、A1（0，0，a）、
（Ⅰ）由
即
也即A1P：PB=1时，PC⊥AB．…4′
（Ⅱ）当A1P：PB=2：3时，P点的坐标是
则
∴
又平面ABC的一个法向量为
∴
（Ⅲ）设C1到面PAC的距离为d，则
若平面α外的直线a与平面α所成的角为θ，则θ的取值范围是（ ）
A
B
C[0，π]
D
正确答案
解析
解：由题意，当直线平行于平面α时，直线a与平面α所成的角为0；
当直线垂直于平面α时，直线a与平面α所成的角为
当直线与平面斜交时，直线a与平面α所成的角为
故选D
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