用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

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题型：简答题

简答题

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=，E是PB上任意一点

（1）求证：AC⊥DE；

（2）当△AEC面积的最小值是9时，求PD的长

（3）在（2）的条件下，在线段BC上是否存在点G，使EG与面PAB所成角的正切值为2？若存在，求出BG的值，若不存在，说明理由．

正确答案

解：（1）∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥AC

∵四边形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC

∴AC⊥面PBD

∴AC⊥DE

（2）设AC与BD交点为F，由（1）知，

AC⊥EF

当△AEC面积的最小值是9时，

EF取得最小值3

在△PBD中，当FE⊥PB时，EF最小，此时EB=

由△BEF∽△BDP得，解得

（3）以点F为坐标原点，FB，FC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，

则

而

∴

而面PAB的法向量

由已知得，解得∴存在靠近点C的三等分点G满足题意

解析

解：（1）∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥AC

∵四边形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC

∴AC⊥面PBD

∴AC⊥DE

（2）设AC与BD交点为F，由（1）知，

AC⊥EF

当△AEC面积的最小值是9时，

EF取得最小值3

在△PBD中，当FE⊥PB时，EF最小，此时EB=

由△BEF∽△BDP得，解得

（3）以点F为坐标原点，FB，FC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，

则

而

∴

而面PAB的法向量

由已知得，解得∴存在靠近点C的三等分点G满足题意

题型：填空题

填空题

如图，在四面体ABCD中，△ABD是正三角形，AB⊥BC，AD⊥DC，AC=2AB，则直线DC与平面ABD所成角的正弦值等于______．

正确答案

解析

解：如图所示，

四面体ABCD中，∵△ABD是正三角形，AB⊥BC，AD⊥DC，且AC=2AB；

设AB=a，则AC=2a，∴BC=DC=a；

取BD的中点E，连接CE、AE，

则CE⊥BD，AE⊥BD；

又CE∩AE=E，

∴BD⊥平面ACE，

又BD⊂平面ABD，

∴平面ABD⊥平面ACE，

过点C作CF⊥AE于F，

则CF⊥平面ABD；

连接DF，则∠CDF就是直线CD与平面ABD所成的角；

∵AB=a，BC=DC=a，

∴AE=，CE=；

∴cos∠AEC==，

∴CF=EC•sin∠AEC=a•=，

∴sin∠CDF===

即直线DC与平面ABD所成角的正弦值为

．

故答案为：

题型：单选题

单选题

图△ABC和△BCD都是边长为2的正三角形，且二面角A-BC-D的大小为60°，则AD的长为（　　）

正确答案

解析

解：取BC的中点O，连接OA，OD

∵△ABC和△BCD都是边长为2的正三角形

∴AO⊥BC，DO⊥BC，AO=DO=

∴∠AOD为二面角A-BC-D的平面角，即∠AOD=60°

∵AO=DO=

∴AD=

故选C．

题型：简答题

简答题

如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1E⊥CD，AB=2BC=2．

（Ⅰ）求证：BC⊥D1E；

（Ⅱ）求证：B1C∥平面BED1；

（Ⅲ）若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，求线段D1E的长度．

正确答案

（Ⅰ）证明：∵底面ABCD和侧面BCC1B1是矩形，

∴BC⊥CD，BC⊥CC1，

又∵CD∩CC1=C，

∴BC⊥平面DCC1D1，…（2分）

∵D1E⊂平面DCC1D1，∴BC⊥D1E．…（4分）

（Ⅱ）证明：∵BB1∥DD1，BB1=DD1，

∴四边形D1DBB1是平行四边形．

连接DB1交D1B于点F，连接EF，则F为DB1的中点．

在△B1CD中，∵DE=CE，DF=B1F，

∴EF∥B1C．…（6分）

又∵B1C⊄平面BED1，EF⊂平面BED1，

∴B1C∥平面BED1．…（8分）

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知BC⊥D1E，

又∵D1E⊥CD，BC∩CD=C，

∴D1E⊥平面ABCD．…（9分）

设G为AB的中点，以E为原点，

EG，EC，ED1所在直线分别为x轴，y轴，z轴

如图建立空间直角坐标系，

设D1E=a，则E（0，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，a），

C（0，1，0），B1（1，2，a），G（1，0，0）．

设平面BED1法向量为=（x，y，z），

因为，

由，得

令x=1，得=（1，-1，0）．…（11分）

设平面BCC1B1法向量为=（x1，y1，z1），

∵，

∴由，得

令z1=1，得=（0，-a，1）．…（12分）

由平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，

得，…（13分）

解得a=1．

∴线段D1E的长度是1．…（14分）

解析

（Ⅰ）证明：∵底面ABCD和侧面BCC1B1是矩形，

∴BC⊥CD，BC⊥CC1，

又∵CD∩CC1=C，

∴BC⊥平面DCC1D1，…（2分）

∵D1E⊂平面DCC1D1，∴BC⊥D1E．…（4分）

（Ⅱ）证明：∵BB1∥DD1，BB1=DD1，

∴四边形D1DBB1是平行四边形．

连接DB1交D1B于点F，连接EF，则F为DB1的中点．

在△B1CD中，∵DE=CE，DF=B1F，

∴EF∥B1C．…（6分）

又∵B1C⊄平面BED1，EF⊂平面BED1，

∴B1C∥平面BED1．…（8分）

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知BC⊥D1E，

又∵D1E⊥CD，BC∩CD=C，

∴D1E⊥平面ABCD．…（9分）

设G为AB的中点，以E为原点，

EG，EC，ED1所在直线分别为x轴，y轴，z轴

如图建立空间直角坐标系，

设D1E=a，则E（0，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，a），

C（0，1，0），B1（1，2，a），G（1，0，0）．

设平面BED1法向量为=（x，y，z），

因为，

由，得

令x=1，得=（1，-1，0）．…（11分）

设平面BCC1B1法向量为=（x1，y1，z1），

∵，

∴由，得

令z1=1，得=（0，-a，1）．…（12分）

由平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，

得，…（13分）

解得a=1．

∴线段D1E的长度是1．…（14分）

题型：简答题

简答题

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，AB∥EF，∠EAB=90°，AB=2，AD=AE=EF=1，平面ABFE⊥平面ABCD．

（1）求直线FD与平面ABCD所成的角的正切值；

（2）求点D到平面BCF的距离；

（3）求二面角B-FC-D的大小．

正确答案

解：（1）∵平面ABFE⊥平面ABCD，∠EAB=90°，

即EA⊥AB，而平面ABFE∩平面ABCD=AB，

∴EA⊥平面ABCD．作FH∥EA交AB于H，则FH⊥平面ABCD．

连接DH，则∠FDH为直线FD与平面ABCD所成的角．

在Rt△FHD中，∵FH=EA=1，DH=，

∴

（2）∵平面ABFE⊥平面ABCD，EA⊥AB，

∴EA⊥平面ABCD．

分别以AD，AB，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（0，0，0）、D（1，0，0）、C（1，2，0）、E（0，0，1）、B（0，2，0）、

F（0，1，1），

∴．

∵，∴⊥平面BCF，

即=（0，1，1）为平面BCF的一个法向量，

又，

∴点D到平面BCF的距离为．

（3）∵，设为平面CDEF的一个法向量，则令x=1，得z=1，

即．

又（1）知，为平面BCF的一个法向量，

∵＜，＞=，

且二面角B-FC-D的平面角为钝角，

∴二面角B-FC-D的大小为120°．

解析

解：（1）∵平面ABFE⊥平面ABCD，∠EAB=90°，

即EA⊥AB，而平面ABFE∩平面ABCD=AB，

∴EA⊥平面ABCD．作FH∥EA交AB于H，则FH⊥平面ABCD．

连接DH，则∠FDH为直线FD与平面ABCD所成的角．

在Rt△FHD中，∵FH=EA=1，DH=，

∴

（2）∵平面ABFE⊥平面ABCD，EA⊥AB，

∴EA⊥平面ABCD．

分别以AD，AB，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（0，0，0）、D（1，0，0）、C（1，2，0）、E（0，0，1）、B（0，2，0）、

F（0，1，1），

∴．

∵，∴⊥平面BCF，

即=（0，1，1）为平面BCF的一个法向量，

又，

∴点D到平面BCF的距离为．

（3）∵，设为平面CDEF的一个法向量，则令x=1，得z=1，

即．

又（1）知，为平面BCF的一个法向量，

∵＜，＞=，

且二面角B-FC-D的平面角为钝角，

∴二面角B-FC-D的大小为120°．

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