热门试卷

（Ⅰ）证明：由已知条件可得BD=2，CD=2，CD⊥BD．…（2分）

∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD．

∴CD⊥平面ABD．…（3分）

又∵AB⊂平面ABD，∴CD⊥AB．…（4分）

（Ⅱ）解：以点D为原点，BD所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A（1，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），D（0，0，0），M（1，1，0）．

∴．…（6分）

设平面ACD的法向量为，则，∴

令x=1，得平面ACD的一个法向量为，

∴点M到平面ACD的距离．…（8分）

（Ⅲ）解：假设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°．…（9分）

设，则N（2-2λ，2λ，0），

∴，

又∵平面ACD的法向量且直线AN与平面ACD所成角为60°，

∴，…（11分）

可得8λ2+2λ-1=0，

∴（舍去）．

综上，在线段BC上存在点N，使AN与平面ACD所成角为60°，此时．…（13分）

（Ⅰ）证明：∵EF∥AD，AD∥BC

∴EF∥BC且EF=AD=BC

∴四边形EFBC是平行四边形

∴H为FC的中点-------------（2分）

又∵G是FD的中点，∴HG∥CD

∵HG⊄平面CDE，CD⊂平面CDE

∴GH∥平面CDE---------------------------------（4分）

（Ⅱ）解：∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD．

∵BD⊥CD，BC=2，CD=x

∴FA=2，BD=（0＜x＜2）------------（6分）

∴

∴V（x）=（0＜x＜2）------------（8分）

要使V（x）取得最大值，只须（0＜x＜2）取得最大值，

∵，当且仅当x2=4-x2，即x=时，V（x）取得最大值

在平面DBC内过点D作DM⊥BC于M，连接EM

∵BC⊥ED，∴BC⊥平面EMD，∴BC⊥EM

∴∠EMD是平面ECF与平面ABCD所成的二面角的平面角-------（10分）

∵当V（x）取得最大值时，CD=，DB=

∴DM=BC=1，EM=

∴sin∠EMD=

即平面ECF与平面ABCD所成的二面角的余弦值为．------------------------------（12分）

（1）证明：在△AOC中，∵AC=1，AO=CO=，∴AC2=AO2+CO2，∴AO⊥CO．

又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，∴AO⊥BD，

又BD∩CO=O，∴AO⊥平面BCD．

（2）解：由（1）知，AO⊥平面BCD，则OC，OA，OD两两互相垂直，如图，

以O为原点，建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），A（0，0，），C（，0，0），B（0，-，0），D（0，，0）

∴=（0，0，）是平面BCD的一个法向量，，，

设平面ABC的法向量为，则由，可得

所以可取．

从而cos==，

∴二面角A-BC-D的余弦值为．