热门试卷

解法1  利用平面的法向量求二面角。以为原点，以、、为、、轴建立空间直角坐标系（如图1）。依题意，得.于是.

设为平面的法向量，则由,得，

，可取。同理可得平面的一个法向量>

由，知二面角的平面角的大小为。

解法2  利用异面直线所成角求二面角。

建立空间直角坐标系同上，过A、N分别作的垂线AE、NF，垂足为E、F，则二面角的平面角大小为.

设

则，

由,有，可得，故,

由

（1）证明过程详见解析；（2）.

试题分析：本题以三棱柱为几何背景考查线线垂直的判定和线面垂直的判定以及线面角的求法，可以运用空间向量法求解，突出考查考生的空间想象能力和推理论证能力以及计算能力.第一问，由于侧面为矩形，所以在直角三角形和直角三角形中可求出和的正切值相等，从而判断2个角相等，通过转化角得到， 又由于线面垂直，可得，所以可证， 从而得证；第二问，根据已知条件建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，根据，求出平面的法向量，再利用夹角公式求出直线和平面所成角的正弦值.

试题解析：(1)证明：由题意,

注意到,所以,

所以,

所以,      3分

又侧面，

又与交于点，所以,

又因为,所以        6分

(2)如图，分别以所在的直线为轴，以为原点，建立空间直角坐标系

则，，，，，

又因为，所以        8分

所以，，

设平面的法向量为，

则根据可得是平面的一个法向量,

设直线与平面所成角为，则   12分

（Ⅰ）证明见解析。

（Ⅱ）

（Ⅰ）由该四棱锥的三视图可知，四棱锥的底面是边长为2和1的矩形，侧棱平面，且.

∵

∴平面. ∴．

又在中，∵,是的中点，

∴．

∵,∴平面．

∴.                          6分

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，平面,

∴平面平面,且交线为，

∴在面内过做，垂足为,

则必有平面．连接则即

为直线 与平面 所成角.            8分

在中，．

在中，．

∴直线 与平面 所成角的正弦值为.                         12分

解法二：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

则,,,,．

∴.

设是平面的一个法向量，则由 得 即 

取得.

而，∴．

设直线 与平面 所成角为，则．

∴直线 与平面 所成角的正弦值为.                        12分

（1）SA=（2）arcsin

（1）SA=

（2）∵SC⊥平面AEFG，A又AE平面AEFG，∴AE⊥SC，∵SA⊥平面BD，又BC平面BD，∴SA⊥BC.又AB⊥BC，SA∩AB="A," ∴BC⊥平面SBC，∴AF在平面SBC上射影为EF.

由三垂线定理得∠AFE为二面角A—SC—B的平面角，易得AF=

∵AE⊥平面SBC，又SB平面SBC，    ∴AE⊥SB.

∴AE=A—SC—B的大小为arcsin