- 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
- 共2973题
如图,平面ABDE⊥平面ABC,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,四边形ABDE是直角梯形,BD∥AE,BD⊥BA,BD=AE=2,O、M分别为CE、AB的中点.
(1)求异面直线AB与CE所成角的大小.
(2)求直线CD和平面ODM所成角的正弦值.
正确答案
(1)∵DB⊥BA,又∵面ABDE⊥面ABC,面ABDE∩面ABC=AB,DB⊂面ABDE,
∴DB⊥面ABC,∵BD∥AE,∴EA⊥面ABC,
如图所示,以C为原点,分别以CA,CB为x,y轴,
以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系,
∵AC=BC=4,
∴设各点坐标为C(0,0,0),A(4,0,0),B(0,4,0),D(0,4,2),E(4,0,4),
则O(2,0,2),M(2,2,0),=(0,4,2),
=(-2,4,0),
=(-2,2,2),
=(-4,4,0),
=(4,0,4),
∴cos<,
>=
=-
,
∴异面直线AB与CE所成角的大小为60°.
(2)设平面ODM的法向量=(x,y,z),则由
⊥
且⊥
,
,
令x=2,则y=1,z=1,∴=(2,1,1),
设直线CD和平面ODM所成角为θ,
则sinθ=|cos<,
>|=|
|=
=
,
∴直线CD和平面ODM所成角的正弦值为.
如图,平面平面
,
是等腰直角三角形,
,四边形
是直角梯形,
∥AE,
,
,
分别为
的中点.
(1)求异面直线与
所成角的大小;
(2)求直线和平面
所成角的正弦值.
正确答案
(1) ,(2)
试题分析:(1)求空间角,一般利用空间向量解决.首先要建立恰当的空间直角坐标系,由平面平面
及
,运用面面垂直性质定理,可得
,这样确定竖坐标.横坐标与纵坐标可根据右手系建立.因为异面直线
与
所成角
等于向量
与
夹角或其补角,而异面直线
与
所成角范围为
,所以
,(2) 直线
和平面
所成角
与向量
与平面
法向量
夹角互余或相差
,而直线
和平面
所成角
范围为
,所以
.
试题解析:
∵,又∵面
面
,面
面
,
,∴
,∵BD∥AE,∴
, 2分
如图所示,以C为原点,分别以CA,CB为x,y轴,以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系,∵,∴设各点坐标为
,
,
,
,
,
则,
,
,
,
,
.
(1),
则与
所成角为
. 5分
(2)设平面ODM的法向量,则由
,且
可得
令,则
,
,∴
,设直线CD和平面ODM所成角为
,则
,
∴直线CD和平面ODM所成角的正弦值为. 10分
如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是边长为2的菱形,,四边形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,BF=3,H是CF的中点.
(Ⅰ)求证:AC⊥平面BDEF;
(Ⅱ)求直线DH与平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角的大小.
正确答案
(Ⅰ)答案详见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)
.
试题分析:(Ⅰ)要证明平面
,只需证明
垂直于面
内的两条相交相交直线,由
是菱形,故
,再证明
,从而可证明
平面
;(Ⅱ)由已知,选三条两两垂直的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,表示相关点的坐标,求直线
的方向向量
坐标,以及面
法向量
的坐标,设直线
与平面
所成角为
,则
;(Ⅲ)先求二面角两个半平面的法向量,再求法向量的夹角,通过观察二面角是锐二面角还是钝二面角,决定二面角余弦值的正负,该题中面
的法向量就是
,只需求面
的法向量即可.
试题解析:(Ⅰ)证明:因为四边形是菱形,所以
.
因为平面平面
,且四边形
是矩形,所以
平面
,
又因为平面
,所以
. 因为
,所以
平面
.
(Ⅱ)解:设,取
的中点
,连接
,因为四边形
是矩形,
分别为
的中点,所以
,又因为
平面
,所以
平面
,由
,得
两两垂直.所以以
为原点,
所在直线分别为x轴,y轴,z轴,如图建立空间直角坐标系.因为底面
是边长为2的菱形,
,
,
所以 ,
,
,
,
,
,
.
因为 平面
, 所以平面
的法向量
. 设直线
与平面
所成角为
,由
, 得
,所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
(Ⅲ)解:由(Ⅱ),得,
.设平面
的法向量为
,
所以 即
令,得
. 由
平面
,得平面
的法向量为
,
则. 由图可知二面角
为锐角,
所以二面角的大小为
.
如图,在Rt△AOB中,∠OAB=,斜边AB=4.Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角.动点D在斜边AB上.
(I)求证:平面COD⊥平面AOB;
(II)当D为AB的中点时,求异面直线AO与CD所成角的余弦值大小;
(III)求CD与平面AOB所成角最大时的正切值大小.
正确答案
(I)由题意,CO⊥AO,BO⊥AO,∴∠BOC是二面角B-AO-C是直二面角,
又∵二面角B-AO-C是直二面角,
∴CO⊥BO,
又∵AO∩BO=O,
∴CO⊥平面AOB,
又CO⊂平面COD,
∴平面COD⊥平面AOB.(4分)
(II)解法一:作DE⊥OB,垂足为E,连接CE(如图),则DE∥AO,
∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角.
在 Rt△COE中,CO=BO=2,OE=BO=1,
∴CE==
.
又DE=AO=
.
∴CD==2
∴在Rt△CDE中,cos∠CDE==
=
.
∴异面直线AO与CD所成角的余弦值大小为.(9分)
解法二:建立空间直角坐标系O-xyz,如图,
则O(0,0,0),A(0,0,2),C(2,0,0),D(0,1,
),
∴=(0,0,2
),
=(-2,1,
),
∴cos<,
>=
=
=
.
∴异面直线AO与CD所成角的余弦值为.(9分)
(III)由(I)知,CO⊥平面AOB,
∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角,
且tanCDO==
.当OD最小时,∠CDO最大,这时,OD⊥AB,垂足为D,OD=
=
,tanCDO=
,
∴CD与平面AOB所成角的最大时的正切值为.(14分)
设异面直线、
成
角,它们的公垂线段为
且
,线段AB的长为4,两端点A、B分别在
、
上移动,则AB中点P的轨迹是 。
正确答案
AB的中点P过EF的中点O且与、
平行的平面
内,于是空间的问题转化为平面问题。取EF的中点O,过O作
则 、
确定平面
,
且A在内的射影必在
上,B在
内的射影必在
上,AB的中点P必在
H ,如图1所示。
又
易得 ,
现求线段在移动时,其中点P的轨迹。以
的平分线为
轴,O为原点,建立直角坐标系,如图2所示。不妨设
。在
中,
①。设
的中点P的坐标为
,则
,即
,代入①消去
、
,得
,于是得到的是椭圆②夹在
内的弧,在另外的情形中,同样得到椭圆②的其余弧,故点P的轨迹是EF的中垂面上以O为中心的椭圆
。
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