热门试卷

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本题主要考查了考查立体图形的空间感、线面角、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力

解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.

又平面平面,则MO⊥平面，所以MO∥AB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角.

OB=MO=，MO∥AB，则，，所以，故.

（2）CE是平面与平面的交线.

由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.

作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为.

因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.

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所以，所求二面角的正弦值是.

解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面平面,则MO⊥平面.

以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.

OB=OM=，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，），B（0，-，0），A（0，-，2），

（1）设直线AM与平面BCD所成的角为.

因（0，，），平面的法向量为.则有，所以.

（2），.

设平面ACM的法向量为，由得.解得，，取.又平面BCD的法向量为，则

设所求二面角为，则.

(1) 45° (2) AD与BC所成的角为90°(3) 二面角A—BD—C大小为π－arctan2.

(1)如图，在平面ABC内，过A作AH⊥BC，垂足为H，则AH⊥平面DBC，

∴∠ADH即为直线AD与平面BCD所成的角 由题设知△AHB≌△AHD，则DH⊥BH，AH=DH，

∴∠ADH=45°

(2)∵BC⊥DH，且DH为AD在平面BCD上的射影，

∴BC⊥AD，故AD与BC所成的角为90°。

(3)过H作HR⊥BD，垂足为R，连结AR，则由三垂线定理知，AR⊥BD，故∠ARH为二面角A—BD—C的平面角的补角 设BC=a,则由题设知，AH=DH=,在△HDB中，HR=a，∴tanARH==2

故二面角A—BD—C大小为π－arctan2.

另法（向量法）: (略)

（1）。（2）直线与平面所成角的正弦值为。

本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面所成的角，其中方法一的关键是熟练掌握二面角及线面夹角的定义，方法二的关键是建立空间直角坐标系，将问题转化为向量夹角问题．

解法一（几何法）：（Ⅰ）作ME∥CD交CD于E，由已知中，∠ADC=∠BCD=90°，PA=PD=AD=2BC=2，N是AD的中点，可得BN⊥AD，结合侧面PAD垂直于底面ABCD，及面面垂直和线面垂直的性质可得BN⊥NE，即∠DNE为二面角M-BN-C的平面角，由二面角M-BN-C为30°，可得∠DNE=30°，可求出DE= DP，进而得到所求的值。

（2）连接BE，由（Ⅰ）可知PE⊥平面BMN，即∠PBE为直线PB与平面BMN所成的角．连接PN，则PN⊥平面ABCD，从而PN⊥BN，解△PBE可得直线PB与平面MBN所成的角。解法二（向量法）：（Ⅰ）建立如图所示的坐标系N-xyz，设PM=λPC（λ＞0），求出面MBN的法向量，及面BNC的法向量，由二面角M-BN-C为30°，求出λ值，即可得到值。

（2）由上可知（，0，3）为面MBN的法向量，设直线PB与平面MBN所成的角为θ，求出PB的方向向量

PB，代入线面夹角公式sinθ，可得直线PB与平面MBN所成的角．

（1）建立如图所示的坐标系，其中，，，，，。设，则，于是，……3分

设 为面的法向量，则，，取，又为面的法向量，由二面角为，得，

解得故。……6分

（2）由（1）知，为面的法向量……8分

设直线与平面所成的角为，由得

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所以直线与平面所成角的正弦值为。……12分

45 度

平面，平面，．

平面．，

则为二面角的平面角．

在中，，，．

在中，，，

，，

所以角PCA为45度

即二面角的大小为45度．