热门试卷

(1) 证明略(2) MN与β所成角为30°

 作NA⊥α于A，MB⊥β于B,连接AP、PB、BN、AM，再作AC⊥l于C，BD⊥l于D，连接NC、MD.

∵NA⊥α,MB⊥β,∴∠MPB、∠NPA分别是MP与β所成角及NP与α所成角，∠MNB，∠NMA分别是MN与β,α所成角，∴∠MPB=∠NPA.

在Rt△MPB与Rt△NPA中，PM=PN，∠MPB=∠NPA，∴△MPB≌△NPA，∴MB=NA.

在Rt△MNB与Rt△NMA中，MB=NA，MN是公共边，∴△MNB≌△NMA，∴∠MNB=∠NMA，即(1)结论成立.

(2)解:设∠MNB=θ,MN=a,则PB=PN=a,MB=NA=asinθ，NB=acosθ,∵MB⊥β,BD⊥l,∴MD⊥l,∴∠MDB是二面角α—l—β的平面角，

∴∠MDB=60°，同理∠NCA=60°,

∴BD=AC=asinθ,CN=DM=asinθ,

∵MB⊥β，MP⊥PN，∴BP⊥PN

∵∠BPN=90°,∠DPB=∠CNP,∴△BPD∽△PNC,∴

整理得，16sin4θ－16sin2θ+3=0

解得sin2θ=,sinθ=，

当sinθ=时，CN=asinθ=a＞PN不合理，舍去.

∴sinθ=,∴MN与β所成角为30°.

解: (1)证明：取AB的中点O，连结PO、CO，∵PA=PB，∴PO⊥AB，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°,∴OA=OB=OC ∵PA=PB=PC，PO为公共边，∴△POA≌△POB≌POC

∴∠POA=∠POB=∠POC=90°,∴PO⊥CO,∴PO⊥面ABC，PO面PAB，∴面PAB⊥面ABC

（2）解：由PO⊥面ABC可知∠PCO是PC与平面ABC所成的角，∵PO=a,OC=a,

sinPCO=PO∶PC=，∴∠PCO=60°∴PC与面ABC成60°的角。

略