- 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
- 共2973题
在三棱锥
正确答案
在三棱锥
（15分）在三棱锥P－ABC中，
（1）求证：平面
（2）求BC与平面PAB所成角的正弦值；
（3）在棱BC上是否存在点Q使得AQ与PC成
正确答案
（1）见解析（2）
(1)证明：由题意得：
(2)解：法一、由（1）得
法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.
（3）法一、设
又
【考点定位】本题考查空间面面垂直、直线与直线所成的角及异面直线所成的角，考查空间向量的运算，意在考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力.
正三角形
正确答案
600
试题分析：如下图所示，依题意知，
四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD且PA = 4，则PC与底面ABCD所成角的正切值为 ．
正确答案
试题分析：因为
（本小题满分12分）
正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=2，E，F分别是D1B，AD的中点，
（1）建立适当的坐标系，求出E点的坐标；
（2）证明：EF是异面直线D1B与AD的公垂线；
（3）求二面角D1—BF—C的余弦值.
正确答案
（1）E点坐标为（1，1，1）. （2）见解析；（3）二面角D1—BF—C的余弦值为
(1)以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则易确定A、B、C的坐标分别为A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）.设D1（0，0，2m）（m>0），则E（1, 1, m）.
(2)利用向量垂直的坐标运算证明
(3)利用向量法求二面角，首先求出两个面的法向量，再根据法向量的夹角与二面角相等或互补来求二面角的大小.
（1）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A、B、C的坐标分别为A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）.
设D1（0，0，2m）（m>0），则E（1, 1, m）.
故E点坐标为（1，1，1）. …………………4分
（2）由（I）可知，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1是棱长为2的正方体.
又∵FD=1， ∴F（1，0，0），
故EF是AD与D1B的公垂线. …………………8分
（3）设n⊥平面FD1B，n=（x，y，z）
取n0=（2，－1，1）， …………………10分
则n0与
∴二面角D1—BF—C的余弦值为
解法二：（Ⅲ）延长CD交BF延长线于P，作DN⊥BP于N，连ND1，
∵DD1⊥平面ABCD， ∴ND1⊥BP，
∴∠DND1就 是二面角D1—FD—C的平面角. ……10分
在Rt△DFP中，DP=2，FD=1，FP=
∴二面角D1—BF—C的余弦值为
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