热门试卷

19．（12分）

解：（1）取的中点，连结、，则由底面，，知，又，∴平面，∴，∴平面SBC，∴即为点N到平面SBC的距离.

由题易知，所以.…………5分

（2）(方法一)在直角三角形中，因为为的中点，所以。由（1）知，所以，作于点，连结，则，所为二面角的平面角．

在三角形中，易知，故可求，所以，在中，由余弦定理可得，所以，即二面角的大小为.            …………12分

（方法二）过C作交AB于D，如图建立空间直角坐标系，则易知点、、、、、，则、、，

设平面的法向量为，则由，得故可取，

再设平面的法向量为，则由，得故可取，则向量与的夹角大小即为二面角的大小。

，故二面角的大小…………12分

略

(1)取AD中点O，连OP、OB，由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，

又OP∩OB＝O，∴AD⊥平面POB，∵BC∥AD，∴BC⊥平面POB，∵PB平面POB，

∴BC⊥PB，即∠PBC＝90°.

(2)如图，

以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O－xyz，则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，由PO＝BO＝，PB＝3，得∠POB＝120°，∴∠POz＝30°，∴P(0，－，)，则＝(－1，，0)，

＝(－1,0,0)，＝(0，，－)，设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则，取z＝，则n＝(0,1，)，

设直线AB与平面PBC所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈，n〉|＝.

本试题主要是考查了四棱锥中线面角的求解以及线面的垂直性质定理的运用。

（1）因为取AD中点O，连OP、OB，由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，

又OP∩OB＝O，∴AD⊥平面POB，∵BC∥AD，∴BC⊥平面POB，这样可得到结论。

（2）建立空间直角坐标系，然后设出法向量坐标，利用向量的夹角公式得到结论。

（Ⅰ）证明：直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

∴ AC⊥BC，                                           …………………1分

又 AC⊥，且

∴ AC⊥平面BCC1，又平面BCC1        ……………………………………3分

∴ AC⊥BC1            ………………………………………………………………4分

（Ⅱ）解法一：取中点，过作于，连接        …………5分

是中点，

∴ ，又平面

∴平面，

又平面，平面

∴

∴ 又且

∴平面，平面         ………7分

∴  又

∴是二面角的平面角      ……………………………………8分

AC＝3，BC＝4，AA1＝4，

∴在中，，，

∴      …………………………………………11分

∴二面角的正切值为  …………………………………………12分

解法二：以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系…………5分

AC＝3，BC＝4，AA1＝4，

∴， ，，，

∴，

平面的法向量，     …………………7分

设平面的法向量，

则，的夹角（或其补角）的大小就是二面角的大小 …………8分

则由  令，则，

∴                                         ………………10分

，则  　……………11分

∵二面角是锐二面角

∴二面角的正切值为             ………………………… 12分

略