- 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
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（10分）
长方体
(1) 求证：
（2）求异面直线AE与
正确答案
（1）证明：取CD的中点
（2）取
在
由余弦定理得：
故：异面直线AE与
略
正方体ABCD—A1B1C1D1中E、F分别是AA1、AB的中点，O是B1D1的中点，则EF与OB所成的角是 、直线
正确答案
30° 、 30°
略
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是面BCC1B1和面CDD1C1的中心，则异面直线A1E和B1F所成角的余弦值为__________．
正确答案
以点D为原点，分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的边长为1，异面直线A1E和B1F所成角为
∴
如图，在正三角形
正确答案
本题考查空间想象能力、考查求异面直线角。在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧的一个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧。折成的四面体是正四面体，画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线角转化到一个三角形的内角的计算。
解：如图，连接
如图2-4,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N、E分别为AB、PC、PD的中点,当∠PDA为多少度时,MN⊥平面PCD？
图2-4
正确答案
取PD中点E,连结EN,EA,则EN
若要使MN⊥平面PCD,则只需EA⊥平面PCD.
由题意,CD⊥EA,要使EA⊥平面PCD,则只需EA⊥PD.
∵E是PD中点,△PAD是直角三角形,
∴当∠PDA为45°时,EA⊥平面PCD,从而MN⊥平面PCD.
求当∠PDA为多少度时,MN⊥平面PCD,可转化为求当MN⊥平面PCD时,∠PDA为多少度.证明时取PD中点E,则易证明四边形EAMN是平行四边形.从而由MN⊥平面PCD可得到EA⊥平面PCD,从而EA⊥PD,又易得△PAD是直角三角形,从而易得到此时∠PDA的度数.
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