热门试卷

解：（I）证明：连接BD，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，

∴△ABD为正三角形，

∵E为AB的中点，

∴ED⊥AB，

在直六面体ABCD-A1B1C1D1中：

平面ABB1A1⊥平面ABCD且交于AB，

∵ED⊂面ABCD∴ED⊥面ABB1A1，

∴平面A1ED⊥平面ABB1A1．

（II）解：由（I）知：ED⊥面ABB1A1

∵A1E⊂面ABB1A1

∴A1E⊥ED

又在直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中：AA1⊥面ABCD，

由三垂线定理的逆定理知：AE⊥ED，

∴∠A1EA=60°，

取BB1的中点F，连EF．AB1，则EF，在直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中：AB1DC1

∴EF

∴E．F．C1、D四点共面，

∵ED⊥面ABB1A1且EF⊂面ABB1A1

∴EF⊥ED

∴∠A1EF为二面角A1-ED-C1的平面角，

在Rt△A1AE中：，

在Rt△EBF中：，

在Rt△A1B1F中：

∴在Rt△A1EF中：，

∴二面角A1-ED-C1的余弦值为，

（III）过F作FG⊥A1E交A1E于G点

∵平面A1ED⊥面ABB1A1

且平面A1ED∩面ABB1A1=A1E

∴FG⊥平面A1ED，

即：FG是点F到平面A1ED的距离，

在Rt△EGF中：

∴

∴，

∵EF且E．D∈面A1ED

∴点C1到平面A1ED的距离为．

证明：（Ⅰ）因为四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，

则CD⊥侧面PAD

∴CD⊥AM，又PA=AD=2，∴AM⊥PD．

又PD∩CD=D，∴AM⊥平面PCD．（5分）

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz又PA=AD=2，

则有P（0，0，2），D（0，2，0）

M（0，1，1），C（2，2，0）

∴=（2，2，-2）．

设N（x，y，z），∵，则有

x-0=，∴．

同理可得y=．

即得．

由=0，∴PC⊥AN

∴平面AMN的法向量为=（2，2，-2），

而平面PAB的法向量可为=（0，2，0），

∴cos＜

故所求平面AMN与PAB所成锐二面角的余弦值为（13分）