用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

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用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
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题型：填空题

填空题

如图：二面角的大小是，线段与所成角为，则与平面所成角的正弦值是_________ ．

正确答案

试题分析：过点A作平面β的垂线，垂足为C，

在β内过C作l的垂线．垂足为D

连接AD，有三垂线定理可知AD⊥l，

故∠ADC为二面角α-l-β的平面角，为60°

又由已知，∠ABD=45°

连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角,设AD=2，则AC=，CD=1,AB=AD:sin450=2,∴sin∠ABC=AC:AB=；故答案为．

点评：解决该试题的关键是过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线．垂足为D，连接AD，从而∠ADC为二面角α-l-β的平面角，连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角，在直角三角形ABC中求出此角即可．

题型：填空题

填空题

如图所示，等边△ABC的边长为4，D为BC中点，沿AD把△ADC折叠到△ADC′处，

使二面角B－AD－C′为60°，则折叠后二面角A－BC′－D的正切值为________．

正确答案

由二面角的平面角的概念可知：∠BDC/即为二面角B-AD-C′的平面角，有∠BDC/=60°，所以BC/=2，作DM⊥BC′于点M，连接AM，则AM为点A到直线BC′的距离，二面角A-BC′-D的平面角即为∠AMD．

如图，作DM⊥BC′于点M，连接AM，则AM为点A到直线BC′的距离， AD=2，DM=，所以AM=，然后利用三角函数的正切值得到结论为2.

题型：简答题

简答题

如图，在三棱柱ABC-A1BlC1中，CC1丄底面ABC,底面是边长为2的正三角形，M, N分别是棱CC1、AB的中点.

(I)求证：CN//平面 AMB1;

(II)若二面角A-MB1-C为45°,求CC1的长.

正确答案

略

题型：简答题

简答题

如图，在直三棱柱中，平面侧面，且

(1) 求证：；

(2) 若直线与平面所成的角为，求锐二面角的大小。

正确答案

（1）过程详见解析；（2）.

试题分析：本题以直三棱柱为背景，考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角、向量法等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑思维能力、转化能力、计算能力.第一问，作出辅助线AD，即可得到，利用面面垂直的性质，得到，再利用线面垂直的性质，得到，同理，得到，利用线面垂直的判定，得到侧面，从而利用线面垂直的性质，得到；第二问，可以利用传统几何法，证明二面角的平面角为，在三角形中，利用边角关系解出角的值，还可以利用向量法，建立空间直角坐标系，计算出平面和平面的法向量，利用夹角公式计算.

试题解析：（1）证明：如图，取的中点，连接， 1分

因，则 2分

由平面侧面，且平面侧面， 3分

得，又平面，

所以. 4分

因为三棱柱是直三棱柱，

则，

所以.

又，从而侧面，

又侧面，故. 7分

（2）解法一：连接，由（1）可知，则是在内的射影∴ 即为直线与所成的角，则 8分

在等腰直角中，，且点是中点

∴ ，且，

∴ 9分

过点A作于点，连

由（1）知，则，且

∴ 即为二面角的一个平面角 10分

且直角中：

又，

∴ ，且二面角为锐二面角

∴ ，即二面角的大小为 14分

解法二（向量法）：由（1）知且，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则

，，，

，，， 9分

设平面的一个法向量

由，得：

令，得，则 10分

设直线与所成的角为，则

得，解得，即 12分

又设平面的一个法向量为，同理可得，

设锐二面角的大小为，则

，且，得

∴ 锐二面角的大小为。 14分

题型：简答题

简答题

如图，是直角梯形，角DABS是直角，面，，，求面和面所成角的正切值．

正确答案

如图，延长、交于点，连接．

，．

从而在中，

又，所以即．

又易求，，，

，为二面角的平面角．

在中，，，，

，．

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