用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

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题型：填空题

填空题

如图，的等腰直角三角形与正三角形所在平面互相垂直，是线段的中点，则与所成角的大小为 .

正确答案

如图，取中点，连接

∵分别是中点，∴

则就是与所成角

设

∵是等腰直角三角形，是中点

∴

∵面面，∴面，∴

∵是正三角形，∴

∴

在中，∵

∴，即，故与所成角的大小为

题型：简答题

简答题

已知棱长为的正方体，点、分别是和的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.

(1)写出图中、的坐标；

(2)求直线与所成角的余弦值.

正确答案

（1）由于正方体的棱长为2.

（2）答案：.

略

题型：简答题

简答题

(示范性高中做)如图，四面体中，是的中点，和均为等边三角形，.

（I）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

正确答案

解：（I）连结，

和为等边三角形，为的中点，为的中点，,,又，

在中，

，

，即

，

∴平面………………………………………………6分

（Ⅱ）过作于连结，

平面，

在平面上的射影为

为二面角的平面角. ……………………8分

在中，

二面角的余弦值为 …………………………12分

题型：简答题

简答题

一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的度数是多少?

正确答案

∠ABC＝60°

由平面图得直观图，如图所示，显然有AB＝AC＝BC，所以∠ABC＝60°．

题型：简答题

简答题

如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面为矩形，，为的上一点，且，为PC的中点.

（Ⅰ）求证：平面AEC；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

正确答案

（Ⅰ）利用直线的向量与平面的法向量垂直证明线面平行，（Ⅱ）

试题分析：建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，

，

（Ⅰ）设平面AEC的一个法向量为，∵，∴

由得，令，得,又

∴，，平面AEC∴平面AEC

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面AEC的一个法向量为，

又为平面ACD的法向量，而，

故二面角的余弦值为

点评：立体几何问题主要是探求和证明空间几何体中的平行和垂直关系以及空间角、体积等计算问题．对于平行和垂直问题的证明或探求，其关键是把线线、线面、面面之间的关系进行灵活的转化．在寻找解题思路时，不妨采用分析法，从要求证的结论逐步逆推到已知条件．

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