- 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
- 共2973题
如图是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶点，则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为 。
正确答案
试题分析:把正方体的表面展开图还原成正方体
自二面角内一点分别向两个半平面引垂线，则两垂线所成的角与二两角的平面角 。
正确答案
互补
作图即可
如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2．
（1）求PC与平面PBD所成的角；
（2）在线段PB上是否存在一点E，使得PC⊥平面ADE？并说明理由．
正确答案
连接AC，设AC∩BD=O，连接PO
∵PD⊥平面ABCD，CO⊂平面ABCD∴PD⊥CO
由ABCD为正方形，知CO⊥BD
∵PD∩BD=D∴CO⊥平面PBD
∴∠CPO是直线PC与平面PBD所成的角
在Rt△POC中，sin∠CPO=
∴∠CPO=
∴直线PC与平面PBD所成的角为
（2）建立如图所示的空间直角坐标系D_xyz，设线段PB上存在一点E，使得PC⊥平面ADE
则存在实数λ，使得
∵P（0，0，2），B（2，2，0）∴
∴
由题意显然有AD⊥平面PCD∴PC⊥AD 要使PC⊥平面ADE，只需
即
∴λ=
故在线段上存在一点E（E为线段的中点）使得PC⊥平面ADE
设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E (如图). 现将
正确答案
取AE中点G，连MG、GB. 则可证GM∥BN，
故MN∥BG，而DE⊥EB，DE⊥AE，∴
又AB⊥BE，G为AE中点，∴BG⊥AE， ∴MN⊥AE
∴MN与AE所成的角为
下图是几何体ABC-A1B1C1的三视图和直观图．M是CC1上的动点，N，E分别是AM，A1B1的中点．
（1）求证：NE∥平面BB1C1C；
（2）当M在CC1的什么位置时，B1M与平面AA1C1C所成的角是30°．
正确答案
（1）证明：连接AE并延长交BB1于点D，连接DM，则NE为三角形ADM的中位线
∴NE∥DM
∵NE⊄平面BB1C1C，DM⊂平面BB1C1C
∴NE∥平面BB1C1C；
（2）过B1作B1F⊥A1C1，连接FM，则
∵AA1⊥平面A1B1C1，B1F⊂平面A1B1C1，
∴AA1⊥B1F
∵A1C1∩AA1=A1，∴B1F⊥平面AA1C1C
∴∠B1MF为B1M与平面AA1C1C所成的角，即∠B1MF=30°
∵A1B1=B1C1=2，A1B1⊥B1C1，∴B1F=
∴B1M=2
∴C1M=2
∵CC1=4，
∴M是CC1的中点时，B1M与平面AA1C1C所成的角是30°．
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