热门试卷

（1）（解法一）如图，以线段FA的中点为原点O，以线段FA所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系O-xyz．

由题意，曲线C是平面α上以原点O为顶点，由于在xOy平面内，CF（2，0，0）

是以O为顶点，以x轴为对称轴的抛物线，其方程为y2=4x，

因此，可设P(，y，0)A（-1，0，0），B（1，0，2），所以，=(2，0，2)，=(1-，-y，2)．

由P0B⊥AB，得2(1-)+4=0⇒y=2，⇒P(3，2，0)

所以，直线P0B与平面α所成角的大小为arctan（或arcsin）．

（解法二）如图，以点A为原点O，以线段FA所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系O-xyz．

所以，A（0，0，0），B（2，0，2），F（2，0，0），并设P（x，y，0），

由题意，

⇒P(3，2，0)

所以，直线P0B与平面α所成角的大小为arctan（或arcsin）．

（2）（解法一）由（1），得△ABP的面积为S△ABP=2，△AFP的面积为S△AFP=2，

所以，×2h=×2×2，

解得，h=．

（解法二）=(2，0，2)，=(4，2，0)，设向量=(x，y，z)

则

所以，平面ABP0的一个法向量=(3，-2，-3)，∴h==．

（1）证明：在△BCC1中，

∵BC=1，CC1=2，∠BCC1=，

∴BC1==，

∴∠CBC1=90°，∴BC⊥BC1，

∵AB⊥侧面BB1C1C，BC1⊂面BB1C1C，

∴BC1⊥AB，

∵AB∩BC=B，∴BC1⊥平面ABC；

（2）∵AB⊥侧面BB1C1C，AB⊂面ABC1，

∴侧面BB1C1C⊥面ABC1，

过E作BC1的垂线，垂足为F，则EF⊥面ABC1，

连接AF，则∠EAF为所求．

∵BC1⊥BC，BC1⊥EF，

∴BC∥EF，

∵E是CC1的中点，

∴F是BC1的中点，EF=，

∵AE=，

∴sin∠EAF==，即AE和平面ABC1所成角正弦值为．

（1）连接AC1，交A1C于O点，连接OM

∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱

∴四边形AA1C1C是矩形，可得AO=OC1

∵M为AB的中点，

∴OM是△A1CB的中位线，可得OM∥BC1，

又∵OM⊂平面MA1C，BC1⊄平面MA1C

∴BC1∥平面MA1C；

（2）根据直三棱柱ABC-A1B1C1中AC⊥BC，可得CA、CB、CC1两两垂直，

因此以C为原点，CA、CC1、CB分别为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系

设AC=1，可得C（0，0，0），A（1，0，0），A1（1，1，0），C1（0，1，0），B（0，0，1），

设平面AA1B1B的一个法向量为=（x，y，z），直线BC1与平面AA1B1B所成角是α

∵=（0，1，0），=（-1，0，1），

∴可得方程组，取x=1，得y=0，z=1

由此可得平面AA1B1B的法向量为=（1，0，1），

∵=（0，1，-1），

∴sinα=|cos＜，＞|=||=

∵直线BC1与平面AA1B1B所成角α是锐角

∴α=30°，即直线BC1与平面AA1B1B所成角为30°

∵A（1，0，0），B（1，0，1），C（0，1，1），∴=(0，0，1)，=(-1，1，1)．

设平面ABC的法向量为=(x，y，z)，则，即，

不妨令x=1，则y=1，z=0，∴=(1，1，0)．

又=（0，1，1），

设直线AD与平面ABC所成的角为θ，

则sinθ=|cos＜，＞|===．

∵θ∈[0，]，∴θ=．

因此直线AD与平面ABC所成的角为．