热门试卷

（ I）如图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴，

建立空间直角坐标系D-xyz如图所示，可得

D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），

A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）…（2分）

设E（0，2，t），则=(-2，0，t)，=(-2，0，-4)．

∵BE⊥B1C，

∴可得•=4+0-4t=0．解之得t=1，

∴E（0，2，1），且=(-2，0，1)．

又∵=(-2，2，-4)，=(2，2，0)，…（4分）

∴•=4+0-4=0

且•=-4+4+0=0…（6分）

∴⊥且⊥．

∵BD、BE是平面BDE内的相交直线．

∴⊥平面BDE…（8分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）所建的坐标系，得

=(-2，2，-4)是平面BDE的一个法向量，

又∵=(0，2，-4)，

∴cos＜，＞==，

因此，可得A1B与平面BDE所成角的正弦值为…（12分）

法一（几何法）：

证明：（1）∵AC=BC=a

∴△ACB是等腰三角形，

又D是AB的中点∴CD⊥AB，

又VC⊥底面ABC∴VC⊥AB

于是AB⊥平面VCD．

又AB⊂平面VAB∴平面VAB⊥平面VCD

（2）过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，连接BH

则由（1）知AB⊥CH，∴CH⊥平面VAB

于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角．

在Rt△CHD中，CD=a，CH=asinθ；

设∠CBH=φ，在Rt△BHC中，CH=asinφ∴sinθ=sinφ∵0＜θ＜∴0＜sinθ＜1，0＜sinφ＜

又0≤φ≤，∴0＜φ＜

即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为(0，)．

法二（向量法）：

证明：（1）以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，D(，，0)，V(0，0，atanθ)，

于是，=(，，-atanθ)，=(，，0)，=(-a，a，0)．

从而•=(-a，a，0)•(，，0)=-a2+a2+0=0，即AB⊥CD．

同理•=(-a，a，0)•(，，-atanθ)=-a2+a2+0=0，

即AB⊥VD．又CD∩VD=D，∴AB⊥平面VCD．

又AB⊂平面VAB．∴平面VAB⊥平面VCD．

（2）设直线BC与平面VAB所成的角为φ，平面VAB的一个法向量为n=（x，y，z），

则由n•=0，n•=0．

得

可取n=(1，1，cotθ)，又=(0，-a，0)，

于是sinφ=||==sinθ，

∵0＜θ＜，∴0＜sinθ＜1，0＜sinφ＜．

又0≤φ≤，∴0＜φ＜．

即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为(0，)．

（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．

因为SA=SB，所以AO=BO．

又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB

如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O-xyz

A(，0，0)，B(0，，0)，C(0，-，0)，S（0，0，1），=(，0，-1)，=(0，2，0)，

•=0，

所以SA⊥BC

（2）取AB中点E，E(，，0)，

连接SE，取SE中点G，连接OG，G(，，)．

=(，，)，=(，，1)，

=(-，，0)．•=0，•=0，

OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直．

∴OG⊥平面SAB，与的夹角记为α，SD与平面SAB所成的角记为β，则α与β互余

D(，2，0)，=(-，2，1)．

cosα==，

∴sinβ=，

（3）由上知为平面SAB的法向量，=(，)

易得D（，-2，0）

=(0，2，0)，=(，0，-1)

同理可求得平面SDA的一个法向量为=(1，0，)

∴cosθ==

由题知所求二面角为钝二面角，故二面角D-SA-B的大小为150°．