热门试卷

由题设CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC

所以，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系

则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），A1（2，0，2），B1（0，2，2），

所以D（0，0，1），E（1，1，1），G(，，)．（2分）

（1）=(-，-，-)，=(0，-2，1)（4分）

所以•=-=0，

∴⊥

所以，直线EG与直线BD所成的角为．（5分）

（2）=(-2，2，-2)（6分）=(-2，2，0)，=(-2，0，1)

设=(x0，y0，z0)为平面ABD的一个法向量

则，

∴

取=(1，1，2)．（8分）

设A1B与平面ADB所成的角为θ

则sinθ=|cos〈＞|==．

即：A1B与平面ADB所成的角为正弦值为．（10分）

解法一：（1）取BC中点H，连结FH，EH，设正方体棱长为2．

∵F为BCC1B1中心，E为AB中点．

∴FH⊥平面ABCD，FH=1，EH=．

∴∠FEH为直线EF与平面ABCD所成角，且FH⊥EH．

∴tan∠FEH===．…（6分）

（2）取A1C中点O，连接OF，OA，则OF∥AE，且OF=AE．

∴四边形AEFO为平行四边形．∴AO∥EF．

∴∠AOA1为异面直线A1C与EF所成角．

∵A1A=2，AO=A1O=．

∴△AOA1中，由余弦定理得cos∠A1OA=．…（12分）

解法二：设正方体棱长为2，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．则B（0，0，0），B1（0，0，2），E（0，1，0），F（1，0，1），C（2，0，0），A1（0，2，2）．

（1）=（1，-1，1），=（0，0，2），且为平面ABCD的法向量．

∴cos＜，＞=．

设直线EF与平面ABCD所成角大小为θ．

∴sinθ=，从而tanθ=．…（6分）

（2）∵=（2，-2，-2），∴cos＜，＞=．

∴异面直线A1C与EF所成角的余弦值为．…（12分）

（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中

A1B1⊥平面BC1

∴A1B1⊥BC1

又∵B1C⊥BC1

∴BC1⊥平面A1C

设B1C∩BC1=H，

则∠C1A1H是直线A1C1与平面A1B1CD所成角

又∵A1C1=a，C1H=a

∴sin∠C1A1H=

∴∠C1A1H=30°

（2）直线BC1∥平面EB1D，理由如下：

取DB1的中点O，则OH∥DC∥AB，OH=EB

∴四边形OHBE是平行四边形

∴BH∥EO

∴EO∥平面EB1D，

∴BC1∥平面EB1D

证明：（3）∵BC1⊥平面A1C，BH∥EO

∴EO⊥平面B1CD

∵EO⊂平面EB1D

平面EB1D⊥平面B1CD

（Ⅰ）证明：连接AC，BD交于点O，在四边形ABCD中，

∵AB=AD=4，BC=CD=

∴△ABC≌△ADC，∴∠DAC=∠BAC，∴AC⊥BD

又∵平面PAC⊥平面ABCE，且平面PAC∩平面ABCE=AC

∴BD⊥平面PAC…（6分）

（Ⅱ）如图，过点P作AC的垂线，垂足为H，连接EH，EC，并取AO中点F，连接EF，

∵平面PAC⊥平面ABCE，且平面PAC∩平面ABCE=AC，PH⊥AC

∴PH⊥平面ABCE，∴∠PEH即为直线PE与平面ABCE的所成角，

由（Ⅰ）可知，AC⊥BD，且AO=2，CO=，

又PE=2，PC=，设CH=x，则有PH=，EH==

又∵F为AO的中点，在Rt△EFH中，FH=2-x，EF=1

由勾股定理得，(2-x)2+1=x2-3，解得x=，

∴EH=，PH=

∴直线PE与平面ABCE的所成角的正弦值即sin∠PEH==．