热门试卷

（1）以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是A1A，B1B的中点，

∴D1（0，0，2），N（2，2，1），A（2，0，0），D（0，0，0）

∴=（2，2，-1），

设直线D1N与平面A1ABB1所成角为θ，

∵平面A1ABB1的一个法向量=（2，0，0），

∴sinθ=|cos＜，＞|=||=，

∴直线D1N与平面A1ABB1所成角的大小为arcsin．

（2）∵C（0，2，0），M（2，0，1），

∴=（2，-2，1），

设直线CM与D1N所成角的为α，

∵=（2，2，-1），

∴cosθ=|cos＜，＞|=||=，

∴sinθ==．

直线CM与D1N所成角的正弦值为．

（3）∵M（2，0，1），B（2，2，0），D1（0，0，2），N（2，2，1），

∴=(2，0，-1)，=（2，2，-2），=（2，2，-1），

设平面D1MB的法向量=(x，y，z)，

则•=0，•=0，

∴，∴=(1，1，2)，

∴点N到平面D1MB的距离d===．

（理）（1）∵DA⊂平面ABD，

AB是BC‘在平面ABD内的射影，

DA⊥AB，

∴DA⊥BC’，BC‘⊥DC’，

∴BC‘⊥平面ADC’．…（4分）

（2）∵BC'⊥平面ADC'，

∴，

∴∠DC'A是二面角A-BC'-D的平面角…（6分）

∵BC‘⊥平面ABC’，

∴DA⊥BC‘，DA⊥AB，

∴DA⊥面ABC'，

∴DA⊥AC’．…（7分）

在Rt△AC'D中，sin∠DC'A===．

所以，二面角A-BC'-D的大小为arcsin．…（8分）

（3）作AM⊥DC'于M，连接BM，

∵BC‘⊥面ADC’，

∴面ADC‘⊥面BDC’，

∵AM⊥DC‘，

∴AM⊥面BC'D，

∴∠ABM是AB与平面BC'D所成的角，…（10分）

在Rt△DAC'中，AM•DC'=AD•AC'，

∴AM===，…（11分）

在Rt△ABM中sin∠ABM===，

所以，AB与平面BC'D所成的角为arcsin．…（12分）