- 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
- 共2973题
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC1与平面BB1D1D所成角为______．
正确答案
连接B1D1取其中点H连接C1H，BH则由正方体的性质知C1H⊥D1B1
∵BB1⊥面A1B1C1D1且C1H⊂面A1B1C1D1
∴C1H⊥BB1
∵BB1∩D1B1=B1
∴C1H⊥面B1D1DB
∴C1H⊥BH
∴∠HBC1即为BC1与平面BB1D1D所成的角
设BC=1则BC1=
∴∠HBC1=30°
故答案为：30°
正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BB1的中点，
（1）求DF与平面ABCD成角的正切值；
（2）求证：EF⊥平面A1D1B．
正确答案
（1）如图所示：由正方体可知：B1B⊥底面ABCD，∴∠FDB为DF与平面ABCD所成的角．
不妨设正方体的棱长AB=2，则BD=2
∵F分别是BB1的中点，∴BF=1．
在Rt△BFD中，tan∠BDF=
∴DF与平面ABCD成角的正切值是
（2）∵E，F分别是AB，BB1的中点，∴EF∥AB1．
∵A1B⊥AB1，∴EF⊥A1B．
由正方体可知：D1A1⊥EF，又D1A1∩A1B=A1．
∴EF⊥平面A1BD1．
在三棱柱ABC-A1B1C1中，各侧面均为正方形，侧面AA1C1C的对角线相交于点A，则BM与平面AA1C1C所成角的大小是______．
正确答案
∵三棱柱ABC-A1B1C1中，各侧面均为正方形
∴三棱柱的侧棱垂直于底面，三棱柱为直三棱柱
取AC中点D，连接BM，DM，则BD⊥平面AA1C1C，∴∠BMD为BM与平面AA1C1C所成
设正方形的边长为2a，则DM=a，BM=
∴tan∠BMD=
∴∠BMD=
故答案为：
正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AA1，AB的中点，则EF与面A1C1CA所成的角是：______．
正确答案
∵E、F分别是AA1、AB的中点，
∴EF∥A1B，
则EF与对角面A1C1CA所成角等于A1B对角面A1C1CA所成角
连接BD交AC于O
由正方体的几何特征可得BD⊥平面A1C1CA
即∠BA1O即为EF与对角面A1C1CA所成角
在Rt△BA1O中，∵BA1=2BO
∴∠BA1O=30°
故答案为：30°．
长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=1，CC1=
正确答案
由题意，AB⊥BC，A1B⊥BC，∴∠A1BA为平面A1BC与平面ABCD所成的角
∵CC1=
∵AB=3，∴tan∠A1BA=
∴∠A1BA=30°
故答案为：30°
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