热门试卷

（1）证明：连接AC，BD，设AC∩BD=O，连接A1O，OE，

在等边△A1BD中，BD⊥A1O，

∵BD⊥A1E，A1O⊂平面A1OE，A1O∩A1E=A1，

∴BD⊥平面A1OE，

于是BD⊥OE，

∴∠A1OE是二面角A1-BD-E的平面角，

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设棱长为2a，

∵E是棱CC1的中点，

∴由平面几何知识，得EO=a，A1O=a，A1E=3a，

满足A1E2=A1O2+EO2，

∴∠A1OE=90°，即平面A1BD⊥平面EBD．

（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

假设棱CC1上存在点E，可以使二面角A1-BD-E的大小为45°，

由（1）知，∠A1OE=45°，

设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2a，EC=x，

由平面几何知识，得EO=，A1O=a，A1E=，

∴在△A1OE中，由A1E2=A1O2+EO2-2A1O•EO•cos∠A1OE，

得x2-8ax-2a2=0，

解得x=4a±3a，

∵4a+3a＞2a，4a-3a＜0，

∴棱OC1上不存在满足条件的点．

（1）证明：如图，

取PA的中点E，连接DE，EN，

∵点N是PB的中点，∴EN∥AB，EN=AB．

∵点M是CD的中点，底面ABCD是正方形，

∴DM∥AB，DM=AB．

∴EN∥DM，EN=DM．

∴四边形EDMN是平行四边形．

∴MN∥DE．

∵DE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，

∴MN∥面PAD；

（2）取AB中点G，连结NG，则NG∥PA，PA⊥面ABCD，

∴NG⊥面ABCD．

∵AM⊂面ABCD，

∴NG⊥AM．

过G作GF⊥AM，垂足为F，连接NF，

∵NG∩GF=G，NG⊂面NGF，GF⊂面NGF，

∴AM⊥面NGF．

∵NF⊂面NGF，

∴AM⊥NF．

∴∠NFG是二面角N-AM-B的平面角．

在Rt△NGM中，MN=5，MG=AD=3，得NG===4，

在Rt△MGA中，AG=，得AM===，

GF===．

在Rt△NGF中，NF===，

∴cos∠NFG===．

∴二面角N-AM-B的余弦值为．

（Ⅰ）在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=，

∴∠DCA=∠BAC=．又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形．

∴DC=AC=（AB）=2AB．

连接BD，交AC于点M，则==2

∵PD∥平面EAC，又平面EAC∩平面PDB=ME，∴PD∥EM

在△BPD中，==2，

即PE=2EB时，PD∥平面EAC

（Ⅱ）以A为原点，AB，AP所在直线分别为y轴、z轴，

如图建立空间直角坐标系．

设PA=AB=BC=a，则A（0，0，0），B（0，a，0），

C（a，a，0），P（0，0，a），E（0，，）．

设=(x，y，1)，为平面EAC的一个法向量，

则⊥，⊥，

∴，解得x=，y=-，

∴n=（，-，1）．

设=（，，1）为平面PBC的一个法向量，

则⊥，⊥，

又=（a，0，0），=（0，-a，a），

∴，解得x′=0，y′=1，

∴=（0，1，1）．∴cos，＞=

∴二面角A-CE-P的余弦值为．