热门试卷

解：（1）证明：在菱形ABCD中，连接DB则△BCD是等边三角形．

点E是BC边的中点

∴DE⊥BC

∵PO⊥平面ABCD

∴OD是斜边PD在底面ABCD内的射

∴PD⊥BC

（2）解：由（1）知DE⊥BC

菱形ABCD中AD∥BC∴DE⊥AD有∵PO⊥平面ABCD

DE是PD在平面ABCD的射影

∴PD⊥AD

∴PDO为二面角P-AD-C的平面角

菱形ABCD中，AD⊥DE

由（1）知△BCD为等边三角形

∵点E是BC边的中点AC与BD互相平分

∴点O是△BCD重心∵又∵在等边△BCD中，

∴OC=OD=6∵

∴在Rt△POD中，tan∠PDO=∴

∴二面角P-AD-C的大小为

（3）解：取AD中点H，连接HB，HP则HB∥DE

∴HB与PB所成的角既是DE与PBD所成角

连接OH，OB

∵PO⊥平面ABCD，OH，OB⊂平面ABCD

∴PO⊥OH，PO⊥OB

在Rt△DOH中，HD=3OD=6

∴

在Rt△PHO中，PH=

在Rt△POB中，OB=OC=6，PB=

由（2）可知DE=HB=9

设HB与PB所成角为α

则cosα=

异面直线PB，DE所成角的余弦值为

解：（Ⅰ）以D为坐标原点，DA、DC、DD1分别为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系如图．

则相应点的坐标分别为D1（0，0，2），A（1，0，0），C（0，1，0），E（1，1，1），

∴，

设平面AED1、平面AEC的法向量分别为，

由，

由，

∴，

∴

∴二面角D1-AE-C的大小为90°．

（Ⅱ）证明：取DD1的中点G，连接GB，GF

∵E，F分别是棱BB1，AD中点

∴GF∥AD1，BE∥D1G且BE=D1G，

∴四边形BED1F为平行四边形，∴D1E∥BF

又D1E，D1A⊂平面AD1E，BG，GF⊄平面AD1E

∴BG∥平面AD1E，GF∥平面AD1E

∵GF，GB⊆平面BGF，∴平面BGF∥平面AD1E

∵BF⊆平面AD1E，∴直线BF∥平面AD1E

（Ⅰ）证明：在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA．

又CD⊥AC，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，

∵AE⊂面PAC，故CD⊥AE．

（Ⅱ）证明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得PA=AC，

∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，

由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．

由（Ⅰ）知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD．

而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．

∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD．

又∵AB∩AE=A，∴PD⊥面ABE

（Ⅲ）解：过点A作AM⊥PD，垂足为M，连接EM，则（Ⅱ）知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则EM⊥PD，因此∠AME是二面角A-PD-C的一个平面角．

由已知，得∠CAD=30°．设AC=a，则PA=a，AD=，PD=，AE=．

在直角△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM×PD=PA×AD，∴AM=．

在直角△AEM中，AE=，AM=，∴EM=a

∴tan∠AME==．

所以二面角A-PD-C的正切值为．