热门试卷

解：（1）作AO⊥平面BCD，垂足为O，O三角形BCD的中心．

连接DO作EO1⊥OD交OD于O1点，连接CO1

∵AB=AC=AD=a，AO⊥平面BCD∴O为△BCD为外心

（2）作AF⊥CD交CD于F，连接OF．

∵AO⊥平面BCD∴AO⊥CD

又∵AF⊥CD∴CD⊥平面AFO

∴CD⊥OF∴∠AFO为二面角A-CD-B的平面角．

在Rt△AOF中AF=，AO=

∴cos∠AFO=．

（3）∴∴在Rt△AOD中，

∵AE=DE，EO1∥AO∴EO1=AO=

∵AO⊥平面BCD，EO1∥AO∴EO1⊥平面BCD

∴∠ECO1是CE与平面BCD所成的角

在Rt△EO1C中，sin∠ECO1=

（1）证明：∵该几何体的正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，

∴BA，BC，BB1两两垂直．

以BA，BB1，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图．--------------（2分）

则B（0，0，0），N（4，4，0），B1（0，8，0），C1（0，8，4），C（0，0，4）．

∴=-16+16+0=0，=（4，4，0）•（0，0，4）=0------------（4分）

∴NB⊥NB1，BN⊥B1C1．

又NB1与B1C1相交于B1，∴BN⊥平面C1NB1．-------------------（6分）

（2）解：∵BN⊥平面C1NB1，∴是平面C1B1N的一个法向量=（4，4，0），------------（8分）

设=（x，y，z）为平面NCB1的一个法向量，则

∴可取=（1，1，2）．------------（10分）

∴cos＜，＞==

∴所求二面角C-NB1-C1的余弦值为．------------（12分）

证明：（1）取SD中点E，连接AE，NE，

则NE=CD=AM，NE∥CD∥AM，

∴四边形AMNE为平行四边形，∴MN∥AE…（1分）

又∵MN⊄平面SAD，AE⊂平面SAD，

∴MN∥平面SAD…（3分）

（2）∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥CD，∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥CD，

又∵SA∩AD=A，SA⊂平面SAD，AD⊂平面SAD，

∴CD⊥平面SAD，∴CD⊥SD

∴∠SDA即为二面角S-CD-A的平面角，

即∠SDA=45°…（5分）

∴△SAD为等腰直角三角形，∴AE⊥SD

∵CD⊥平面SAD，∴CD⊥AE，

又SD∩CD=D，SD⊂平面SCD，CD⊂平面SCD

∴AE⊥平面SCD∵MN∥AE，∴MN⊥平面SCD，

∵MN⊂平面SMC，

∴平面SMC⊥平面SCD…（8分）

（3）∵=λ，设AD=SA=a，则CD=λa

由（2）可得MN⊥平面SCD，∴SN即为SM在平面SCD内的射影

∴∠MSN即为直线SM与平面SCD所成角，

即∠MSN=30°…（9分）

而MN=AE=，

∴Rt△SAM中，SM=，而MN=AE=a，

∴Rt△SAM中，由sin∠MSN=

得=，解得λ=2

当λ=2时，直线SM与平面SCD所成角为30°（14分）

（Ⅰ）证明：取AC中点E，连DE、BE，

则DE∥PC，PC⊥AC

∴DE⊥AC …（2分）

又△ABC是正三角形可得BE⊥AC

由线面垂直的判定定理知AC⊥平面DEB，又BD⊂平面BED

∴AC⊥BD                             …（5分）  

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）中知DE⊥AC，BE⊥AC

∴∠DEB是二面角P-AC-B的平面角，∴∠DEB=120°

又AB=其中线 BE=

∵AC⊥平面BDE，AC⊂平面ABC

∴平面ABC⊥平面BDE且交线为BE，…（7分）

过D作平面ABC的垂线DF，垂足F必在直线BE上  

又∠DEB=120°，∴设F在BE延长线上，则∠DBE即为BD与底面ABC所成的角         …（9分）

又△DEB中 DB2=DE2+BE2-2BE•DEcos120°=13，∴BD=

由正弦定理：，

∴，即BD与底面ABC所成的角的正弦值为…（12分）