用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

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题型：简答题

简答题

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，∠BAD=60°．

（1）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值

（2）求PB与AC所成角的余弦值．

正确答案

解：（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．

又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．

因为PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC．

设AC∩BD=O，则PB在平面PAC的射影为PO，所以∠BPO即为所求

因为PA=AB=2，∠BAD=60°，

所以PB=2，BO=1

所以sin∠BPO==…（6分）

（2）因为∠BAD=60°，PA=AB=2，所以BO=1，AO=CO=

如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，

则P（0，-，2），A（0，-，0），B（1，0，0），C（0，，0）．

所以=（1，，-2），=（0，2，0），

设PB与AC所成角为θ，则cosθ═=．…（12分）

解析

解：（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．

又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．

因为PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC．

设AC∩BD=O，则PB在平面PAC的射影为PO，所以∠BPO即为所求

因为PA=AB=2，∠BAD=60°，

所以PB=2，BO=1

所以sin∠BPO==…（6分）

（2）因为∠BAD=60°，PA=AB=2，所以BO=1，AO=CO=

如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，

则P（0，-，2），A（0，-，0），B（1，0，0），C（0，，0）．

所以=（1，，-2），=（0，2，0），

设PB与AC所成角为θ，则cosθ═=．…（12分）

题型：简答题

简答题

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AA1=2，AC=2，E为A1C!中点，求直线CC1与平面BCE所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

正确答案

解：如图建立空间直角坐标系，设平面BCE的法向量，

直线CC1与平面BCE所成角为θ：B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，2），C1（0，2，2）

∴-2μ+2ν=0…（2分）∴-ν+2ω=0…（4分）

令v=2，则…（6分）

∴sin=…（10分）

∴θ=arcsin

直线CC1与平面BCE所成角大小为…（12分）

解析

解：如图建立空间直角坐标系，设平面BCE的法向量，

直线CC1与平面BCE所成角为θ：B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，2），C1（0，2，2）

∴-2μ+2ν=0…（2分）∴-ν+2ω=0…（4分）

令v=2，则…（6分）

∴sin=…（10分）

∴θ=arcsin

直线CC1与平面BCE所成角大小为…（12分）

题型：简答题

简答题

如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，平面ABC1⊥平面A1ACC1，

又∠AA1C1=∠BAC1=60°，AC1与A1C相交于点O．

（Ⅰ）求证：BO⊥平面A1ACC1；

（Ⅱ）求AB1与平面A1ACC1所成角的正弦值．

正确答案

（Ⅰ）证明：由题知AC=AA1=2，∠AA1C1=60°，

所以△AA1C1为正三角形，所以AC1=2，…（1分）

又因为AB=2，且∠BAC1=60°

所以△BAC1=60°为正三角形，…（2分）

又平行四边形A1ACC1的对角线相交于点O，所以O为AC1的中点，

所以BO⊥AC1…（3分）

又平面ABC1⊥平面A1ACC1，且平面ABC1∩平面A1ACC1=AC1，…（4分）

且BO⊂平面ABC1…（5分）

所以BO⊥平面A1ACC1…（6分）

（Ⅱ）解：连结A1B交AB1于E，取A1O中点F，连结EF，AF，

则EF∥BO，又BO⊥平面A1ACC1

所以EF⊥平面A1ACC1，所以EF⊥AF，…（7分）

所以直线AB1与平面A1ACC1所成角为∠EAF．…（8分）

而在等边△ABC1中，AB=2，所以BO=，EF=，

同理可知，A1O=，A1F=，

在△AA1F中，AF=…（10分）

所以Rt△EFA中，AE=，所以sin∠EAF=．

所以AB1与平面A1ACC1所成角所成角的正弦值为．…（12分）

解析

（Ⅰ）证明：由题知AC=AA1=2，∠AA1C1=60°，

所以△AA1C1为正三角形，所以AC1=2，…（1分）

又因为AB=2，且∠BAC1=60°

所以△BAC1=60°为正三角形，…（2分）

又平行四边形A1ACC1的对角线相交于点O，所以O为AC1的中点，

所以BO⊥AC1…（3分）

又平面ABC1⊥平面A1ACC1，且平面ABC1∩平面A1ACC1=AC1，…（4分）

且BO⊂平面ABC1…（5分）

所以BO⊥平面A1ACC1…（6分）

（Ⅱ）解：连结A1B交AB1于E，取A1O中点F，连结EF，AF，

则EF∥BO，又BO⊥平面A1ACC1

所以EF⊥平面A1ACC1，所以EF⊥AF，…（7分）

所以直线AB1与平面A1ACC1所成角为∠EAF．…（8分）

而在等边△ABC1中，AB=2，所以BO=，EF=，

同理可知，A1O=，A1F=，

在△AA1F中，AF=…（10分）

所以Rt△EFA中，AE=，所以sin∠EAF=．

所以AB1与平面A1ACC1所成角所成角的正弦值为．…（12分）

题型：单选题

单选题

如图，已知点P是正四面体A-BCD的棱AC中点，则直线DP与平面BCD所成角的正弦值为（　　）

正确答案

解析

解：过A做BD的垂线，垂足为F，连接CF，易知CF⊥BD，故平面AFC⊥BCD，

过A做AO⊥BCD，O应为BCD的中心，在CF上，因此AC投影在CF上．

故P在平面BCD的投影也在CF上，设为O′，连接O′D，知O′D⊥PO′，

如图示：

，

因PO′∥AO，故==，

令正四面体的棱长为a

AF=DP=，FO═，AO=，

∴PO′=，∴sin∠PDO′==，

故选：A．

题型：简答题

简答题

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．

（Ⅰ）求证：AD⊥CD；

（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．

正确答案

解：（Ⅰ）证明：如图，

取PD中点E，连AE，EM，则EM∥AN，且EM=AN；

∴四边形ANME是平行四边形，MN∥AE；

∵MN⊥CD，∴AE⊥CD，即CD⊥AE；

取AD中点O，连PO，△PAD是等边三角形，则PO⊥AD；

又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD；

∴PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，即CD⊥PO；

故CD⊥平面PAD，AD⊂平面PAD；

∴CD⊥AD，即AD⊥CD；

（Ⅱ）由AB=AD，AD⊥CD，得▱ABCD是正方形；

取BC边的中点F，连接OF，则分别以OA，OF，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；

设AB=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），D（-1，0，0），P（0，0，），E（-，0，）；

=（2，2，0），=（1，0，）；

设平面PBD的法向量，则：

；

∴；

∴，取z=1，∴；

==（，0，-）；

设直线MN与平面PBD所成的角为θ，则：

sinθ=|cos＜，＞|==．

解析

解：（Ⅰ）证明：如图，

取PD中点E，连AE，EM，则EM∥AN，且EM=AN；

∴四边形ANME是平行四边形，MN∥AE；

∵MN⊥CD，∴AE⊥CD，即CD⊥AE；

取AD中点O，连PO，△PAD是等边三角形，则PO⊥AD；

又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD；

∴PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，即CD⊥PO；

故CD⊥平面PAD，AD⊂平面PAD；

∴CD⊥AD，即AD⊥CD；

（Ⅱ）由AB=AD，AD⊥CD，得▱ABCD是正方形；

取BC边的中点F，连接OF，则分别以OA，OF，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；

设AB=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），D（-1，0，0），P（0，0，），E（-，0，）；

=（2，2，0），=（1，0，）；

设平面PBD的法向量，则：

；

∴；

∴，取z=1，∴；

==（，0，-）；

设直线MN与平面PBD所成的角为θ，则：

sinθ=|cos＜，＞|==．

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