热门试卷

(1) (2)

试题分析：解法一：（1）取BC中点H，连结FH，EH，设正方体棱长为2．

∵F为BCC1B1中心，E为AB中点．

∴FH⊥平面ABCD，FH=1，EH=．

∴∠FEH为直线EF与平面ABCD所成角，且FH⊥EH．

∴tan∠FEH===．……6分

（2）取A1C中点O，连接OF，OA，则OF∥AE，且OF=AE．

∴四边形AEFO为平行四边形．∴AO∥EF．

∴∠AOA1为异面直线A1C与EF所成角．

∵A1A=2，AO=A1O=．

∴△AOA1中，由余弦定理得cos∠A1OA=．……12分

解法二：设正方体棱长为2，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．则B（0，0，0），B1（0，0，2），E（0，1，0），F（1，0，1），

C（2，0，0），A1（0，2，2）．

（1）=（1，－1，1），=（0，0，2），且为平面ABCD的法向量．

∴cos<，>=．

设直线EF与平面ABCD所成角大小为θ．

∴sinθ=，从而tanθ=．……6分

（2）∵=（2，－2，－2）．∴cos<，>=．

∴异面直线A1C与EF所成角的余弦值为．……12分

点评：解决的关键是根据异面直线所成角的定义， 以及线面角的概念，结合向量法来得到，属于基础题。

解：法1：（1）连结，

∵平面，平面，

∴，……………………… 1分

又∵，，

∴平面，…………………. 2分

又∵，分别是、的中点，

∴，………………………….3分

∴平面，又平面，

∴平面平面；……………4分

（2）连结，

∵平面，平面平面，

∴，

∴，故 ………………………………………8分

（3）∵平面，平面，∴，

在等腰三角形中，点为的中点，∴，

∴为所求二面角的平面角， ……………………………9分

∵点是的中点，∴，

所以在矩形中，

可求得，，，………………………10分

在中，由余弦定理可求得，

∴二面角的余弦值为．……………………………………12分

法2：（1）同法1；

（2）建立如图所示的直角坐标系，则，，，，

∴，，

设点的坐标为，平面的法向量为，则，

所以，即，令，则，，

故，

∵平面，∴，即，解得，

故，即点为线段上靠近的四等分点；

故 …………………………………………………………………8分

（3），则，设平面的法向量为，

则，即，………9分

令，则，，

即，……………………………10分

当是中点时，，

则，

∴，

∴二面角的余弦值为．……12分

略